全等三角形经典辅助线做法汇总

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法4)（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。5)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”6)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．7)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.(一)中线倍长法:例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD﹤21(AB+AC)分析：要证明AD﹤21(AB+AC)，就是证明AB+AC2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。在△ADB和△EDC中，∴△ADB≌△EDC(SAS)∴AB=CE又在△ACE中，AC+CE＞AE∴AC+AB＞2AD，即AD﹤21(AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。课题练习:ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC例2:中线一倍辅助线作法△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，连接BE连接CD例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CEEDABCFEDCBANDCBAMFECABD课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF例5：已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAEEDABC作业：1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAEFEABCDDABCMTE5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论应用：1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．EDABCFEABCDEDCBAPQCBA二、截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，P21DCBAADBCE图2-1求证：0180CA5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，在Rt△ADE与Rt△CDF中，CDADDFDE∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°例1.如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.图1-1FEDCBA图1-2例2.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.例3.已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.ABCDP12N图3-1DCBA12图4-1作业：1、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDECEDBAFEDCBA应用：三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为AP，△EBC周长记为BP.求证BP＞AP.例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.四、借助角平分线造全等OEDCBA1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.应用：1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③NMEFACBA五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；BCDNMA应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC∠，60MBN∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，．当MBN∠绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．当MBN∠绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图1）ABCDEFMN（图2）ABCDEFMN（图3）ABCDEFMN2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．图1图2图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，