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专题02角度计算中的经典模型【举一反三】【模型1双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【例1】（2019春•润州区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，F是AC延长线上一点，FD⊥AB，垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED＝55°．求∠A的度数．【变式1-1】（2019秋•凉州区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠A的度数．【变式1-2】（2019春•莲湖区期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．【变式1-3】（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？【模型2A字模型】【结论】∠BDE+∠CED=180°+∠A【例2】（2019春•资中县月考）如图所示，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2等于多少度？【变式2-1】（2019春•长沙县校级期中）如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．【变式2-2】（2019春•盱眙县期中）我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？Ⅰ．尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？Ⅱ．初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．【变式2-3】（2019春•盐都区期中）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝50°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝°．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．（4）如图3，若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．【模型3双内角平分线模型】【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.【结论】∠P=90°+21∠A.【例3】（2018秋•开封期中）如图，△ABC中，（1）若∠B＝70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．（2）如果把（1）中∠B＝70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．【变式3-1】（2018秋•徐闻县期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．（1）如图1，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数．（2）如图2，已知∠A＝90°，求∠BOC的度数．（3）如图1，设∠A＝m°，求∠BOC的度数．【变式3-2】（2019春•南岗区期末）已知在△ABC中，∠A＝100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD．（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED﹣∠AFD＝12°，求∠ACF的度数．【变式3-3】（2019春•东阿县期末）已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O（1）若∠A＝70°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝a，求∠BOC的度数；（3）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC=31∠ABC，∠OCB=31∠ACB，∠A＝a，求∠BOC的度数．【模型4内外角平分线模型】【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线.【结论】∠A=21∠P.【例4】（2018秋•江岸区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E．（1）已知∠A＝60°，求∠E的度数；（2）直接写出∠A与∠E的数量关系：．【变式4-1】（2019秋•卫滨区校级期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB的度数．【变式4-2】（2019秋•莆田校级期中）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D；（1）若∠ABC＝60°，∠DCE＝70°，则∠D＝°；（2）若∠ABC＝70°，∠A＝80°，则∠D＝°；（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）【变式4-3】（2018秋•彭水县校级月考）如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D．（1）若∠A＝50°，则∠D＝；（2）若∠A＝80°，则∠D＝；（3）若∠A＝130°，则∠D＝；（4）若∠D＝36°，则∠A＝；（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．【模型5双外角平分线模型】【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCD的角平分线.【结论】∠P=90°-21∠A.【例5】（2018秋•鄂伦春自治旗月考）如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：（1）若∠A＝60°，则∠P＝°；（2）若∠A＝40°，则∠P＝°；（3）若∠A＝100°，则∠P＝°；（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系．【变式5-1】（2019秋•团风县校级月考）BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF的平分线，求证：∠BDC＝90°21∠A．【变式5-2】（2019春•雨城区校级期中）如图，BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝36°，求∠BIC的大小；（2）若∠A＝96°，试求∠BIC；（3）根据前面问题的求解，请归纳∠BIC和∠A的数量关系并进行证明．【变式5-3】如图，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，分别交于点D，P．（1）若∠A＝30°，求∠BDC，∠BPC的度数．（2）若∠A＝m°，求∠BDC，∠BPC的度数（直接写出结果，不必说明理由）（3）想一想，∠A的大小变化，对∠D+∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求出其值．【模型68字模型】【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.【例6】（2019春•辉县市期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【变式6-1】（2018春•新泰市期中）已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．①若∠B＝32°，∠D＝38°，求∠M的度数；②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论．【变式6-2】（2018秋•南昌期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=31∠CAB，∠CDP=31∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【变式6-3】（2018秋•青岛期末）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝20°，∠ADC＝26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，猜想∠P的度数为【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=31∠CAB，∠CDP=31∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．【模型7燕尾模型】【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【例7】（2019春•冠县期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．【变式7-1】（2019秋•平度市期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝°．Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数．【变式7-2】（2019秋•阜阳月考）在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想．如图（1）中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于多少时，我们可以连接CD，利用三角形的内角和则有∠B+∠E＝∠ECD+∠BDC，这样∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和就转化到同一个△ACD中，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．尝试练习：图（2）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于．图（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于．图（4）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数等于．【变式7-3】（2019秋•襄城区期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【模型8筝型】【结论】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P【例8】（2019春•邳州市校级月考）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．（1）若∠A＝75°，则∠1+∠2＝．（2）若∠A＝n°，则∠1+∠2＝．（3）由（1）（2）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．【变式8-1】（2018春•迁安市期末）动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．观察猜想（1）如图1，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝