等差数列前n项和教学设计

1等差数列前n项和【教学目标】一、知识与技能1、借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前n项和公式的推导思路；理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。2、理解公式，能用公式解决简单的问题；通过公式运用进一步体会方程的思想；让学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；进一步加深对等差数列的认识。二、过程与方法1、启发式教学。从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。2、探究式学习。从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。三、情感态度与价值观1、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。2、培养学生良好的思维习惯，以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。【教学重点、难点】重点：探索等差数列的前n项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。解决办法:以三角图案入手，得自高斯算法的启发，设计一个“试一试”，借助几何图形的变化得到“倒”的思路。【教学用具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】一、情景引入:1、（播放媒体资料）印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿……成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？即:1+2+3+······+100=？少年高斯是如何快速地得出了结论的呢？高斯用的是首尾配对的方法。特点：首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，······第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：101×50＝5050。S100=1+2+3+······+100=101×50=50502、试一试：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均为101个，共100行。有什么启发？1+2+3+……+98+99+1002100+99+98+……+3+2+11+2+3+…+100=（100+1）×100÷2=5050想一想：1、你能用一个字说出高斯算法的巧妙之处吗？（配）2、你能用一个字说出第二种算法的巧妙之处吗？（倒）点出方法：倒序相加二、推进新课1、探究1：求1到n的正整数之和即：sn=1＋2＋3＋……＋n2、看谁算得快：如图一堆钢管有多少根？5＋6＋7＋8＋9=25)95(=353、探究2：那么，对于一般的等差数列，又该如何去求它的前n项和？即：ns=a1+a2+a3+……+an证法1：利用定义可得：])1([)(])1([)(111dnadaaSdnadaaSnnnnn两式相加可得：)(21nnaanS即2)(1nnaanS证法2：1231211121(2)(1)aaaaaaaaaaaSaaaSnnnnnnnnn∴（1）+（2）可得：2)(1nnaanS∴2)(1nnaanS公式变形：将dnaan)1(1代入可得：dnnnaSn2)1(1综上所述：等差数列求和公式为：dnnnaaanSnn2)1(2)(11123(1)(1)(2)212(1)(1)(1)(1)2nnnnnsnnsnnnsnnnnns34、认识公式：（1）、用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式.（2）、公式特点：（1）相同点：都需知道a1与n（2）不同点：第一个还需知道an，第二个还需知道d。5、公式应用：例1：求等差数列-10，-6，-2，2，…前10项的和。变式题：等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项和是54？解：设题中的等差数列为na，前n项为nS则54,4)10()6(,101nSda由公式可得5442)01(10nnn解之得：3,921nn（舍去）∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54思考：其实，在求和公式、通项公式中共有首项a1、公差d、项数n、末项an、前n项和sn五个元素，如果已知其中（三个），联列方程（组），就可求其余（两个）。（知三求二）练习一：1、根据下列条件，求相应的等差数列前n项的和（1）a1=100，d=－2，n=50（2）a1=－4，a8=－18，n=8;（3）a1=14.5，d=0.7，an=322、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n项和的公式.例2、已知一等差数列有12项，a3+a10=4，求s12（能力提高）练习二：1、已知一等差数列中a5=10，则s9=（C）A、45B、60C、90D、1202、已知一等差数列中a3+a6+a9=－6，则s11=（B）A、－11B－22C、0D、22、想一想：1、等差数列第k项与倒数第k项的和等于（首末两项的和）2、等差数列有奇数项，那么前n项和等于（中间项乘以项数）公式的变式：2)(2)(2)(1121naanaanaasknknnn4三、课堂小结：1、回顾公式的推导，从特殊到一般是我们研究问题的一般方法；2、倒序相加的方法，数形结合的思想；3、掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用。四、作业布置：1、预习新课2、书面作业：课本46页，习题2.3A组第2、3题【板书设计】【教学设计说明】一、情景引入1、以三角形图案开始，高斯算法引入，激发学生的兴趣。2、因为高斯算法与倒序相加法有一段距离，我设计了一个“试一试”：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？目的是想让同学们从图形变化入手，从感性上体会“倒”的巧妙，启发同学的思维，为自然过渡到“倒序相加法”作准备。我认为这个设计有“四两拨千斤”之效。二、两个探究1、探究1，从特殊数列入手，让学生更好地体会“倒序相加法”的优点。2、“看谁算得快”是为了联系“梯形”图形，启发同学的思维，也是加深倒序法的感性认识。3、探究2：公式的推导，要求学生自觉地应用“倒序相加法”。从情景引入到探究1、2，到公式的认识，无不体现了“数形结合”的思想。三、例题及习题的选择例1及变式题到例2有一定梯度，例2有点活，都反映了公式的特点，达到理解公式、自如地运用公式的目的。练习一是基本运用，体现了一定的梯度，第二题是书本的例题，要鼓励学生用多种解法。练习二体现了公式的灵活运用，更要突出解选择题的方法技巧。练习题包含了三种题型，训练全面；能很好地让学生的能力得到逐步提升。整个教学过程都体现了从“一般到特殊，再从特殊到一般”的认知规律。2008-12课题：等差数列前n项的和公式：an=a1+（n-1）d2)(1nnaanSdnnna2)1(1推导过程例1例2