高等数学之微分方程.ppt

大学数学基础教程制作单位：成都医学院第7章常微分方程主要内容:一、微分方程的基本概念二、一阶微分方程三、可降阶的微分方程四、二阶常系数线性微分方程引例1某曲线过点(,)12且任一点处的切线的斜率为2x，求曲线方程．一、微分方程的基本概念解：依题意有xy2……①且yx12，……②由①可得：yxC2……③所以yx21……④引例2火车以20米/秒行驶时，若以042./ms的加速度刹车，则到停止时位移为多少？解：设刹车后位移与时间关系为sst，则有dsdt2204.……⑤且dsdtstt00200,……⑥从而可得：stt02202.……⑦凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量关系的方程称为微分方程．微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．如：①⑤如：①为一阶，⑤为二阶，nyyyyxf,,,,,为n阶．02yyy为二阶．定义2定义1由上两例，得如下相关定义：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程．从微分方程求出未知函数就叫做解微分方程.满足微分方程的函数（它要在某区间上连续）称为微分方程的解.如：③、④、⑦定义4定义3微分方程的解中的任意常数的个数与方程的阶数相同，这种解称为方程的通解．不含有任意常数的解称为特解．如：③为通解，④、⑦为特解定义5★注意：通解不一定包含所有特解，因为有奇解．用来确定通解中的任意常数，未知函数所满足的条件称为初始条件或定解条件．如：②、⑥定义6求解微分方程满足初始条件的问题称为微分方程的初值问题．微分方程的特解在几何上是一条曲线，称它为微分方程的积分曲线．也被称为微分方程初值问题的几何意义．通解是一组平行的曲线簇．定义7定义8解:验证xCktCkt12cossin是dxdtkx2220的解，其中CC12,为任意常数．并求满足初始条件Axt0，00tdtdx的特解．ktkCktkCdtdxcossin21ktCkktCkdtxdsincos221222ktCktCksincos212将xdtxd,22代入方程dxdtkx2220得：ktCktCksincos212212cossinkCktCkt0例1xCktCkt12cossin是dxdtkx2220的解．将条件Axt0代入xCktCkt12cossin得：AC1将条件00tdtdx代入ktkCktkCdtdxcossin21得：02C将21,CC代入xCktCkt12cossin得所求特解为：ktAxcos即：二、一阶微分方程22xyy将其化为xdxdyy212两边积分有：Cxy21即Cxy211、可分离变量的微分方程先看一个实例：若某微分方程可化为：dxxfdyyg的形式，称这种类型的微分方程为可分离变量的微分方程．形式：解法：两边积分gydyfxdx特点：左边的表达式中只含有y，右边的表达式中只含有x．解：求xyy2的通解.由方程得：xydxdy2xdxydy2xdxydy2故21lnyxC21Cxee2xCe即方程的通解为2xCey21xCye例2解：求微分方程022dyyyxdxxyx满足初始条件10xy的特解．原方程变形为：xxdxyydy22111221ln211ln21Cyx12211ln21CyxxyC2211yx|01C12xy221112即：故所求特解为：例3因为铀的衰变速度就是tM对时间t的导数解：设放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变的铀原子的含量M成正比．已知时间0t时铀的含量为0M，求衰变过程中铀的含量tM随时间0t的变化规律．MdtdM且00MMt由MdtdM得：dtMdMCtMlnlntCeM又由00MMt得：0MC所以所求变化规律为：teMM0．例4dtdM，依题意有：若一阶微分方程yxfy,中的函数yxf,可化为xy的函数xy，即：xyyxf,，称该方程为齐次方程．如：0222dyxyxdxyxyxyxyxydxdy222xyxyxy212可化为：2、齐次方程对于xydxdy，令xyu，则uxy，从而有：dxduxudxdy，将其代入原方程得：udxduxuxdxuudu,得其解法为：xydxdy由齐次方程的形式：作变换uxyxyu,，使之成为可分离变量的微分方程．思路：解：解方程yxyyxy22.由原方程得：dxdy22xxyy12xyxy令uxy，则dxduxudxdy于是原方程变为：12uudxduxu，即：1uudxdux分离变量得：xdxduu11两端积分得：xCuulnln即：Cuxuln，将xyu代回有：Cxyyln例5解：求方程22yxxyy满足10xy的特解.由原方程得：dxdy22xyxy21yyxx令uxy，则dxduxudxdy于是原方程变为：21duuuxdxu,即:321duuxdxu分离变量得：dxxduuu1132例6又xyu，原方程的通解为：222yxCey将初始条件10xy代入，得1C.所以满足初始条件的特解为：222yxey两端积分得：12lnln21Cxuu或212uyCe，其中1CeC型如)(xQyxPy……①的微分方程称为一阶线性微分方程.定义其中:当0xQ时，有0yxPy……②称为一阶线性齐次微分方程．当0Qx时，称为一阶线性非齐次方程．通常也说②是①对应的齐次方程．3、一阶线性微分方程由②易得：dxxPydy1lnlnCdxxPydxxPCey（C为任意常数）……③这就是②的通解．设dxxPexuy则dxxPdxxPexuPexuy代入①中有：其解法为：dxxPdxxPexPxuexudxxPexuxPxQdxxPexuxQ，即：dxxPexQxuCdxexQxudxxP，从而，dxxPexuyCdxexQedxxPdxxP……④或：dxxPdxxPdxxPeCdxexQey……⑤⑤右端第一项是对应的线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程的一个特解.由此可知，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和.当然，也可以直接用④来求解一阶线性非齐次方程的通解.dxxPdxxPdxxPeCdxexQey……⑤解:解方程23xyye.333233xxxxueueuee例7对应的线性齐次微分方程03yy的通解为：xCey3把C换成x的未知函数)(xu代入得：得：Ceux551因此：xeu5，将Ceux551代入xexuy3)(，得原方程通解为：xxCeey3251.解:解方程25112xxyy.ydxxe12251x21dxxedxCdxxe1ln2251xdxex1ln2C21x251xdxx211C21xCx23132例8三、可降阶的微分方程1、右端仅含x的方程对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为n-1阶方程：1)1()(Cdxxfyn21)2(])([CdxCdxxfyn同理可得：依此法继续进行，接连积分n次，便得方程①的含有n个任意常数的通解.)()(xfyn微分方程①…解方程xeyxcos2.对方程两边连续积分三次得：Cxeyxsin21222cos41CCxxeyx32212sin81CxCxCxeyx21CC解:例92、右端不显含y的方程其特点：不显含有未知函数y解法：令py为一新的未知函数，则可化为pxfp,，这是一阶微分方程，可解．),(yxfy微分方程求方程yxyx212满足,10xy30xy的特解.解:设py，则dxdpy，从而方程化为：dxxxpdp212，两端积分得：plnCxln1ln221lnxC例10211xCpCC1即有：211xCy将条件3|0xy代入得：31C对213xy两端再积分得：2333Cxxy再将10xy代入得：312C故所求方程的特解为：133xxy3、右端不显含x的方程yyfy,微分方程其特点：不显含未知函数的自变量x.令py为一新的未知函数，将p看作是自变量y的函数，有：dxdpydxdydydpdydpp方程可化为pyfdydpp,，解法：这是一阶微分方程，可解．解:解方程02yyy.令py，则dxdpydydpp，代入此方程得：02pdydpyp当0,0py时，约去p并分离变量得：ydypdp，两端积分得：CyplnlnlnyCp1CC1即：yCy1例11当0y时，原方程有解：0y当0p，即0y时，原方程有解：Cy显然此二解是(*)式分别当02C和0,12CCC时的特殊情形．故方程的通解为：xCeCy12再分离变量，两端积分得：21lnCxCy即：xCeCy12（22CeC）….(*)型如xfyxQyxPy)(……①的方程称为二阶线性微分方程．其中，当0xf时，0)(yxQyxPy……②称为二阶线性齐次方程．也称①为②对应的齐次方程．当0fx时，称①为二阶线性非齐次方程．四、二阶常系数线性微分方程1、二阶线性微分方程解的结构若函数)(),(21xyxy是②的解，则：)()(2211xyCxyCy也是②的解．其中21,CC为任意常数．定理7.1因为函数xyxy21,是②的解，所以：0)(111yxQyxPy0)(,222yxQyxPy将前式两端乘1C，后式乘2C得：0))(())(()(221122112211yCyCxQyCyCxPyCyCxyCxyCy2211也是②的解．证明即：★理解如：1）这一性质称为齐次方程解的叠加性．2）从形式上看，解xyCxyCy2211中有二常数，但它不一定是②的通解．取212yy则xyCxyCy22111Cy本质上仍是一个任意常数．问题：何时xyCxyCy2211可表示方程的通解？线性相关性：设nyyyy,,,,321为定义在I上的n个函数，若存在不全为0的常数123,,,,nkkkk，使得：033221nnxykykykyk在I内成立，称nyyyy,,,,321在I内线性相关．否则（当且仅当021nkkk时，才有：033221nnxykykykyk）称nyy