高一数学衔接因式分解

1第2讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．2.1公式法在第一节里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()abaabbab(立方和公式)；2233()()abaabbab(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()ababaabb；3322()()ababaabb【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)38x(2)30.12527b解：(1)333282(2)(42)xxxxx(2)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]bbbbb2(0.53)(0.251.59)bbb说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)abab，这里逆用了法则()nnnabab；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1)34381abb(2)76aab分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66ab，可看着是3232()()ab或2323()()ab．解：(1)3433223813(27)3(3)(39)abbbabbabaabb．(2)76663333()()()aabaabaabab222222222()()()()()()()()aabaabbabaabbaababaabbaabb2.2提取公因式法与分组分解法【例3】把22xyaxay分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是xy；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy.解：22()()()()()xyaxayxyxyaxyxyxya【例4】分解因式：（1）255abab；（2）32933xxx．解：（1）255abab(5)(1)aba；（2）32933xxx32(3)(39)xxx2(3)3(3)xxx2(3)(3)xx．【例5】分解因式：（1）32933xxx；（2）222456xxyyxy．解：（1）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx=2(3)(3)xx．或32933xxx＝32(331)8xxx＝3(1)8x＝33(1)2x＝22[(1)2][(1)(1)22]xxx＝2(3)(3)xx．（2）222456xxyyxy=222(4)56xyxyy=22(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy．或222456xxyyxy=22(2)(45)6xxyyxy=(2)()(45)6xyxyxy=(22)(3)xyxy．【例6】把2222428xxyyz分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224xxyyz，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)xxyyzxxyyz222[()(2)]2(2)(2)xyzxyzxyz3练习：1．多项式xyzxyyx42622中各项的公因式是__________．2．yxxynyxm_____．3．222yxxynyxm____．4．zyxxzynzyxm_________．5．zyxzyxzyxm______．6．2105axaybybx_________________7．2222()()abcdabcd【答案】1．2xy；2．()mn；3．()mn；4．()mn；5．(1)m．6．21052(5)(5)(5)(2)axaybybxaxybxyxyab7．22222222()()abcdabcdabcabdacdbcd2222()()abcacdbcdabd()()()()acbcadbdbcadbcadacbd2.3十字相乘法2.3.1形如2()xpqxpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq因此，2()()()xpqxpqxpxq，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．我们也可以用一个图表示，此方法叫做十字相乘法．【例7】把下列各式因式分解：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）22()xabxyaby；（4）1xyxy．解：（1）如图1.1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与4－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1来表示（如图2所示）．（2）由图3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图4，得22()xabxyaby＝()()xayxby（4）1xyxy＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如图5）．练习：把下列各式因式分解(1)276xx(2)21336xx(3)2524xx(4)2215xx解：(1)6(1)(6),(1)(6)7，∴276[(1)][(6)](1)(6)xxxxxx．(2)3649,4913，∴21336(4)(9)xxxx．(3)24(3)8,(3)85，∴2524[(3)](8)(3)(8)xxxxxx．(4)15(5)3,(5)32，∴2215[(5)](3)(5)(3)xxxxxx．【例8】把下列各式因式分解：(1)226xxyy(2)222()8()12xxxx分析：(1)把226xxyy看成x的二次三项式，这时常数项是26y，一次项系数是y，把26y分解成3y与2y的积，而3(2)yyy，正好是一次项系数；(2)由换元思想，只要把2xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式2812aa．5解：(1)222266(3)(2)xxyyxyxxyxy．(2)22222()8()12(6)(2)xxxxxxxx(3)(2)(2)(1)xxxx．2.3.2形如一般二次三项式2axbxc型的因式分解我们知道，2112212122112()()()axcaxcaaxacacxcc．反过来，就得到：2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc，其中11,ac位于上一行，22,ac位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法．【例9】把下列各式因式分解：(1)21252xx(2)22568xxyy解：(1)21252(32)(41)xxxx3241(2)22568(2)(54)xxyyxyxy1254yy说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．2.4配方法【例10】把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）221xx；（2）2244xxyy．解：（1）令221xx=0，则解得112x，212x，6∴221xx=(12)(12)xx=(12)(12)xx．（2）令2244xxyy=0，则解得1(222)xy，1(222)xy，∴2244xxyy=[2(12)][2(12)]xyxy．【练习】分解因式2616xx解：222222616233316(3)5xxxxx(35)(35)(8)(2)xxxx说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．2.5拆、添项法【例11】分解因式3234xx分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解：323234(1)(33)xxxx22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]xxxxxxxxx22(1)(44)(1)(2)xxxxx说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x拆成224xx，将多项式分成两组32()xx和244x．1．把下列各式分解因式：(1)327a(2)38m(3)3278x7(4)3311864pq(5)3318125xy(6)3331121627xyc2．把下列各式分解因式：(1)34xyx(2)33nnxxy(3)2323()amnab(4)2232(2)yxxy3．把下列各式分解因式：(1)232xx(2)23736xx(3)21126xx(4)2627xx(5)2245mmnn(6)2()11()28abab4．把下列各式分解因式：(1)5431016axaxax(2)2126nnnaabab(3)22(2)9xx(4)42718xx(5)2673xx(6)2282615xxyy(7)27()5()2abab(8)22(67)25xx5．把下列各式分解因式：(1)233axayxyy(2)328421xxx(3)251526xxxyy(4)224202536aabb(5)22414xyxy(6)432224abababab(7)66321xyx(8)2(1)()xxyxyx8第2讲因式分解答案1．2．3．4．5．．课堂练习答案：1、D2、D3、略4、01x5、C222(3)(39),(2)(42),(23)(469),aaammmxxx22222