函数与导数解题方法知识点技巧总结-(1)

1函数与导数解题方法知识点技巧总结1.高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型：（1）求曲线()yfx在某点出的切线的方程（2）求函数的解析式（3）讨论函数的单调性，求单调区间（4）求函数的极值点和极值（5）求函数的最值或值域（6）求参数的取值范围（7）证明不等式（8）函数应用问题2.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：（1）曲线()yfx在0xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为000()()()yfxxxfx。（2）若可导函数()yfx在0xx处取得极值，则0()0fx。反之不成立。（3）对于可导函数()fx，不等式()0(0)fx的解是函数()fx的递增（减）区间。（4）函数()fx在区间I上递增（减）的充要条件是：,()0(0)xIfx恒成立（()fx不恒为0）.（5）若函数()fx在区间I上有极值，则方程()0fx在区间I上有实根且非二重根。（若()fx为二次函数且IR，则有0）。（6）若函数()fx在区间I上不单调且不为常量函数,则()fx在I上有极值。（7）若,()0xIfx恒成立，则min()0fx；若,()0xIfx恒成立，则max()0fx（8）若0xI使得0()0fx，则max()0fx；若0xI使得0()0fx，则min()0fx.（9）设()fx与()gx的定义域的交集为I，若,()()xIfxgx恒成立，则有min[()()]0fxgx.（10）若对112212,,()()xIxIfxgx恒成立，则minmax()()fxgx.若对1122,xIxI，使得12()()fxgx，则minmin()()fxgx.若对1122,xIxI，使得12()()fxgx，则maxmax()()fxgx.（11）已知()fx在区间1I上的值域为A,()gx在区间2I上值域为B，若对1122,xIxI使得12()()fxgx成立，则AB。（12）若三次函数()fx有三个零点，则方程()0fx有两个不等实根12,xx且12()()0fxfx（13）证题中常用的不等式:①ln1(0)xxx（仅当1x时取“”）2②ln(1)(1)xxx（仅当0x时取“=”）③2ln(1)(0)xxx④ln1(1)12xxxx⑤22ln11(0)22xxxx⑥1xex⑦1xex3.函数与导数解答题常见题型的解法（1）已知曲线()yfx（含参数）的切线方程为ykxb，求参数的值【解法】先设切点坐标为00(,)xy，求出切线方程000()()()yfxxxfx再与已知切线方程比较系数得:000()()()fxkxfxfxb,解此方程组可求参数的值（2）已知函数()yfx（含参数），讨论函数的单调性【解法】先确定()fx的定义域，并求出()fx，观察()fx能否恒大于或等于（恒小于或等于）0，如果能，则求参数的范围，讨论便从这里开始，当参数在上述范围以外取值时，令()0fx，求根12,xx.再分层讨论，是否在定义域内或讨论12,xx的大小关系，再列表讨论，确定()fx的单调区间。（大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此讨论函数单调性问题又往往是讨论二次函数在某一区间上的符号问题）（3）已知函数()yfx（含参数）在区间I上有极值，求参数的取值范围.【解法】函数()fx在区间I上有极值，可转化为方程()0fx在区间I上有实根，且为非二重根。从而确定参数（或其取值范围）。（4）可导函数()fx（含参数）在区间I上无极值，求参数的取值范围【解法】()fx在区间I上无极值等价于()fx在区间在上是单调函数，进而得到()fx0或()fx0在I上恒成立（5）函数()fx（含单个或多个参数）仅在0xx时取得极值，求参数的范围【解法】先由()0fx，求参数间的关系，再将()fx表示成()fx=0()xx()gx，再由()gx0(0)3恒成立，求参数的范围。（此类问题中()fx一般为三次多项式函数）（6）函数()fx（含参数）在区间I上不单调，求参数的取值范围【解法一】转化为()fx在I上有极值。（即()0fx在区间I上有实根且为非二重根）。【解法二】从反面考虑：假设()fx在I上单调则()fx0(0)在I上恒成立，求出参数的取值范围，再求参数的取值范围的补集（7）已知函数()fx（含参数），若0xI，使得0()fx00（）成立，求参数的取值范围.【解法一】转化为()fx在I上的最大值大于0（最小值小于0）【解法二】从反面考虑：假设对()0(0)xIfx，恒成立则max()fx0（min()fx0）,求参数的取值范围，再求参数的取值范围的补集（8）含参数的不等式恒成立，求参数的取值范围【解法一】分离参数求最值【解法二】构造函数用图像注：对于多变量不等式恒成立，先将不等式变形，利用函数的最值消变元，转化为单变量不等式恒成立问题（9）可导函数()fx（含参数）在定义域上存在单调递增(减)区间，求参数的范围.【解法】等价转化为()fx00（）在定义域上有解即0xI使0()fx00（）成立（1）可用分离参数法（2）利用图像及性质（10）证明不等式【解法】构造函数()fx并确定定义域I，考察在I上的单调性（注意区间端点的函数值）或者求()fx在I上的最值注：对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式，确定要证明的函数不定式，再对自变量x赋值，令x分别等于12n,,,,把这些不定式累加，可得要证的不定式。）1.已知函数xxxf24)(，实数ts,满足0)()(tfsf，设tstsba2,22.（1）当函数)(xf的定义域为1,1时，求)(xf的值域；（2）求函数关系式)(agb，并求函数)(ag的定义域；（3）求ts88的取值范围.4（1）若[1,1]x，令12[,2]2xm，……1分2211()()()24fxlmmmm在1[,2]2上为增函数……2分minmin11()()()24fxlml；maxmax()()(2)2fxlml，……3分()fx值域为1[,2]4.……4分（2）实数,st满足()()0fsft，则42420sstt，则2(22)22(22)0ststst，……6分而22sta，2stb，故220aba，21()()2bgaaa，……7分由题意，0,0ba，则21()02aa，故1a，……8分又22222442()2ststst，即22aa，故2a，当且仅当st时取得等号，……9分综上：12a.……10分（3）88(22)(4224)()ststssttaab2321113()2222aaaaaa，(1,2]a……12分令3213(),(1,2]22haaaa，'()ha2333(2)022aaaa当(1,2]a恒成立，……14分故()ha在(1,2]a单调递增，()((1),(2)]hahh，故88st(1,2].……16分2.已知函数2(),()xfxegxaxbxc。（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线5互相垂直，求b和c的值。（2）若a＝c＝1，b＝0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；（3）若b＝c＝0，证明：对任意给定的正数a，总存在正数m，使得当x(,)m时，恒有f（x）＞g（x）成立。解:1ac，0b时，2()1gxx，……5分①0x时，(0)1f，(0)1g，即()()fxgx②0x时，()1fx，()1gx，即()()fxgx③0x时，令2()()()1xhxfxgxex,则'()2xhxex.设()'()=2xkxhxex，则'()=2xkxe，当ln2x时,'()0,()kxkx单调递减;当ln2x时,'()0,()kxkx单调递增.所以当ln2x时,()kx取得极小值,且极小值为ln2(ln2)2ln22ln40ke即()'()=20xkxhxex恒成立，故()hx在R上单调递增,又(0)0h,因此,当0x时,()(0)0hxh,即()g()fxx.……9分综上，当0x时,()()fxgx；当0x时,()()fxgx；当0x时,()g()fxx．……10分⑶证法一：①若01a，由⑵知，当0x时,21xex.即22xexax，所以，01a时，取0m，即有当xm，，恒有2xeax.②若1a,()g()fxx即2xeax，等价于2ln()xax即2lnlnxxa令()2lnlntxxxa,则22'()1xtxxx.当2x时,'()0,()txtx在(2,)内单调递增.取20xae,则202xe，所以()tx在0(,)x内单调递增.又2220()2lnln43ln743lntxeaeaaeaaaa4(1)3(ln)0aaa即存在2mae,当xm，时，恒有()()fxgx.……15分综上，对任意给定的正数a，总存在正数m，使得当xm，，恒有()()fxgx.……16分6证法二：设2()xehxx，则3(2)'()xexhxx，当(0,2)x时，'()0hx，()hx单调减，当(2,)x时，'()0hx，()hx单调增，故()hx在(0,)上有最小值，2(2)4eh，……12分①若24ea，则()2hx在(0,)上恒成立，即当24ea时，存在0m，使当(,)xm时,恒有()()fxgx；②若24ea，存在2m，使当(,)xm时,恒有()()fxgx；③若24ea，同证明一的②，……15分综上可得，对任意给定的正数a，总存在m,当(,)xm时,恒有()()fxgx.……16分设函数()22ln-+fxxxaxb=在点()()0,0xfx处的切线方程为yxb=-+.(1)求实数a及0x的值；(2)求证：对任意实数，函数()fx有且仅有两个零点.74.已知函数1()lnfxxx，()gxaxb；（取e为2.8，取ln2为0.7，取21.4）（1）若函数()()()hxfxgx在(0,)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线()gxaxb是函数1()lnfxxx图象的切线，求ab的最小值；8（3）当0b时，若()fx与()gx的图象有两个交点11(,)Axy、22(,)Bxy，求证：2122xxe．解析：（1）由()()()hxfxgx1lnxaxbx，得211()hxaxx；∵()()()hxfxgx在(0,)上递增，∴对0x，都有211()0hxaxx，（求出导数给2分）即对0x，都有211axx，∵2110xx，∴0a；故实数a的取值范围是(,0]．………………………………………………4分（无等号的扣1分）（2）设切点0001(,ln)xxx，则切线方程为：002000111(ln)()()yxxxxxx，即00220000011111()()(ln)yxxxxxxxx，亦即02000112()(ln1)yxxxxx，令010tx，由题意得202000112,ln1ln21attbxttxxx；……………7分令2()ln1abtttt