年级:高二辅导科目:数学课时数:3课题向量的坐标表示及其运算教学目的1、理解平面向量的有关概念,掌握向量的坐标表示及运算法则2、掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则教学内容【知识梳理】知识点1向量及其表示1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量(向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示。如a读作向量a,向量也可以用两个大写英文字母上面加箭头来表示,如AB表示由A到B的向量。A为向量的起点,B为向量的终点)。向量AB(或a)的大小叫做向量的模,记作AB(或a)。【注意】既有方向又有大小的量叫做向量,只有大小没有方向的量叫做标量。向量与标量是两种不同类型的量,要注意加以区分。2.向量坐标的有关概念(1)基本单位向量:在平面直角坐标系内,方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位,记,ij(2)将向量a的起点置于坐标原点O,作OA=a,则OA叫做位置向量,如果点A的坐标,xy,它在x轴和y轴上的投影分别为M,N,则OAOMON,axiyj。(3)向量的正交分解:在(2)中,向量OA能表示成两个垂直的向量,ij分别乘以实数,xy后组成的和式,该和式称为,ij的线线组合。这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。把有序实数对,xy叫做向量a的坐标,记作a,xy3.向量的坐标运算:设a1122,,,,xybxyR则1212,abxxyy;1212,abxxyy;11,axy4.向量的模:设a,xy,由两点间距离公式,可求的向量a的模22axy【注意】(1)向量的大小可以用向量的模来表示,即用向量的起点与终点间的距离来表示。(2)向量的模是一个标量,并且是一个非负的实数。知识点2向量平行的充要条件已知a与b为非零向量,若a1122,,,,xybxy则a∥b的充要条件是1221xyxy,所以,向量平行的充要条件可表示为:a∥bab(其中为非零实数)1221xyxy。知识点3定比分点公式1.定比分点公式和中点公式已知1P11222,,,xyPxy是直线l上的任一点,且12,1PPPPR,P是直线12PP上的一点,令,Pxy,则121211xxxyyy,这个公式叫做线段12PP的定比分点公式,特别的1时,P为线段12PP的中点,此时121222xxxyyy,叫做线段12PP的中点公式。2.三角形重心坐标公式设△ABC的三个顶点坐标分别为112233,,,,,AxyBxyCxy,G为△ABC的重心,则12312333GGxxxxyyyy【典型例题分析】【例1】已知点A的坐标为2,0,点B的坐标3,0,且4,3APBP,求点P的坐标。变式练习:已知点A(4、0),B(4、4),C(2、6),O为坐标原点,求AC和OB交点P的坐标。P1PP2Oxy【例2】已知24,3,23,4abab,求,ab的坐标。变式练习:若向量a=(1、1),b=(1、-1),c=(-1、2),则c=()A)-21a+23bB)21a-23bC)23a-21bD)-23a+21b【例3】设向量,,,,abcR,化简:(1)abcabcbc(2)2222abcabc【例4】已知向量2,3a,点A2,1,若向量AB与a平行,且213AB,求向量OA的坐标。【解析】本题中放入两个条件,要求两个变量,只需列出方程组,求解即可。变式练习:1、-2、1),B(—1、3),C(3、4),D(2、2),则()A)AB∥BCB)AB=DCC)AB∥DCD)AC=(―5,―3)2若向量a=(2、m)与b=(m、8)的方向相反,则m=【例5】在直角坐标系内124,3,2,6PP,点P在直线12PP上,且122PPPP,求出P的坐标。变式练习:已知a=AB,B(1、0),b=(-3、4),c=(-1、1),且a=3b-2c,求A点的坐标。【例6】已知32,5,9,2atbt,若a∥b,求a,b的坐标。变式练习:1、已知a=(1,2),b=(x,1),且a+2b与2a-b平行,则x=()A)2B)1C)31D)212、下列命题:①a∥b存在唯一的实数,使得a=b;②a∥b存在不全为零的实数1和2,使得1a+2b=0;③a、b不平行若1a+2b=0,则1=2=0;④a、b不平行不存在实数1和2,使得1a+2b=0。其中正确的命题是()A)①④B)②③C)①③D)②④3、若三点P(1、1),A(2、-4),B(x、-9)共线,则()A)x=-1B)x=3C)x=29D)x=51【例7】如图,已知ABC的三个顶点坐标分别为1,1,5,3,4,5,直线l∥AB于D,且直线l平分ABC的面积,求D点的坐标。变式练习:若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动,当t=1时,分别到达B、C、A。求证:在0≤t≤1的任何一时刻t1,△DEF的重心不变。yFEADBx【例8】如图,已知点12,PP的坐标分别为1122,,,xyxy,点P的坐标为2121,xxyy求证:12OPPP.变式练习:已知点O(0、0),A(1、2),B(4、5)及OP=OA+tAB,试问:1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第二象限?2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由。【例9】(1)若1,1,OAB点的坐标1,2tt,求AB最小值。(2)若sin,cos,2cos,3ab,且a∥b,求的值。yxoP1P2P变式练习:1、已知a=(2、3),b=(-5、6),则|a+b|=,|a-b|=2、已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,则|a-b-c|的最大值为;最小值为。【课堂小练】1、设A、B、C、D四点坐标依次是(-1、0),(0、2),(4、3),(3、1),则四边形ABCD为()A)正方形B)矩形C)菱形D)平行四边形2、设a=(23、sinα),b=(cosα、31),且a∥b,则锐角α为()A)300B)600C)450D)7503、若A、B、C、D四点共线,且依次排开,C是BD的中点,AB=m,AC=n,则AD=()A)2m-nB)2n-mC)n-mD)m+n4、在三角形ABC中,已知AB=a,CA=c,O是△ABC的重心,则OB+OC=5、若a=(2、-3),b=(1、2),c=(9、4),且c=ma+nb,则m=;n=;6、在平行四边形ABCD中,E、F分别是BC、DC的中点,若AB=a,AD=b,试以a、b为基底表示DE和BF。【课后练习】一、基础巩固1.已知2,1OA,点1,3B,OCAB,则点C的坐标为()A3,2B2,1C2,3D1,22.若非零向量1122,,,,axybxy则a∥b是1122xyxy的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件3.已知1,,2,4axbx,而12cab,且3c,则实数x的值为()A1或2B1或2C1D24.已知2,5,2aba,若b与a反向,则b等于()A4,10B4,10C51.2D51,25.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,与向量AB平行且模也相等的向量有()A,,COOFDEB,,,,,COOCOFFODEEDC,,,COCFOFDED,,,,,,BACOOCOFFODEED6.ABC中,若1,1,3,5,8,3ABC,G是ABC的重心,则GA的坐标是()A302,B102,C10,D01,7.已知:112211,3PPPPPPPP,则__________二、能力提升8.连接3,2,4,8AB的线段,点P在线段AB上,且34APAB,则点P的坐标_________9.已知1,2,3,4AB,点P是AB的定比分点,13BPAB,求点P的坐标。10.已知12,GG是,ABCACD的重心,G是12GG的中点,若A,B,C,D的坐标分别是0,02,5,5,7,10,2,求点G的坐标。三、创新探究11.已知O,A,B的坐标分别为0,0,1,2,4,5,且OPOAtAB(1)当t为何值时,点P在x轴上?在y轴上?在第二象限?(2)四边形OABP能否为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,说明理由。ABCDEFO四、高考体验12.设P是ABC所在平面内一点,2BCBABP,则()A0PAPBB0PCPAC0PBPCD0PAPBPC13.若平面向量,ab满足1,abab平行与x轴,2,1,ba__________