极坐标与参数方程数学讲义知识讲解

精品文档精品文档极坐标与参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.二、知识结构1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数yx,的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。常见的曲线的参数方程2.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是atyyatxxsincos00(t为参数，其几何意义是．．．．．PM．．的数量．．．)(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是btyyatxx00(t为参数，1tant)②3.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是sincosrbyrax(φ是参数)(2)椭圆椭圆12222byax(a＞b＞0)的参数方程是sincosbyax(φ为参数)椭圆12222byay(a＞b＞0)的参数方程是sincosaybx(φ为参数)(3)抛物线抛物线pxy22的参数方程为为参数tptyptx2224.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，精品文档精品文档缺一不可.点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.注意：①点),(P与点),(1P关于极点中心对称；②点),(P与点),(2P是同一个点；③如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。④极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋k2)或（，＋)12(k），(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．圆的极坐标方程①以极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是a；②以(,0)a)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是cos2a；③以(,)2a)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是sin2a；直线的极坐标方程①过极点的直线的极坐标方程是)0(和(0).②过点)0)(0,(aaA，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是acos.化为直角坐标方程为xa.③过点(,)2Aa且平行于极轴的直线l的极坐标方程是sina.化为直角坐标方程为ya.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式．．．．'sincosyx)0(222xxytgyxθ的象限由点(x,y)所在的象限确定三、课前预习1．直线12xy的参数方程是（）A、1222tytx（t为参数）B、1412tytx（t为参数）精品文档精品文档C、121tytx（t为参数）D、1sin2sinyx（t为参数）答案：C2．已知3,5M，下列所给出的不能表示点的坐标的是()A、3,5B、34,5C、32,5D、35,5答案：A3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是（）A、(1,)2B、(1,)2C、(1,0)D、(1，)解：将极坐标方程化为普通方程得：0222yyx，圆心的坐标为)1,0(，其极坐标为)23,1(，选B4．点3,1P，则它的极坐标是()A、3,2B、34,2C、3,2D、34,2答案：C5．直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线13cos:sinxCy（为参数）和曲线2:1C上，则AB的最小值为()A、1B、2C、3D、4答案：A6．参数方程为1()2xttty为参数表示的曲线是（）A、一条直线B、两条直线C、一条射线D、两条射线答案：D7．124123xttxkykyt若直线为参数与直线垂直，则常数（）A、-6B、16C、6D、16精品文档精品文档答案：A8．极坐标方程4cos化为直角坐标方程是()A、22(2)4xyB、224xyC、22(2)4xyD、22(1)(1)4xy答案：A9．曲线24sin()4x与曲线12221222xtyt的位置关系是（）A、相交过圆心B、相交C、相切D、相离答案：D10．曲线的参数方程为12322tytx(t是参数)，则曲线是（）A、线段B、双曲线的一支C、圆D、射线答案：D11．在极坐标系中，圆2上的点到直线6sin3cos的距离的最小值是.答案：112．圆C：x=1+cosθy=sinθ(θ为参数)的圆心到直线l：x=22+3ty=13t(t为参数)的距离为。答案：213．已知两曲线参数方程分别为5cossinxy(0)≤和254xtyt(t)R，它们的交点坐标为___________．答案：25(1,)5．14．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，已知曲线1C、2C的极坐标方程分精品文档精品文档别为0,3，曲线3C的参数方程为2cos2sinxy（为参数，且,22），则曲线1C、2C、3C所围成的封闭图形的面积是.答案：23四、典例分析考向一极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化相关知识点：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：sincosyx或)0(tan222xxyyx【例1】（1）点M的极坐标分别是(2,)2，(4,)，2(6,)3，3(2,)4换算成直角坐标依次是，，，（2）点M的直角坐标分别是(2,0)，(0,2)，(2,2)，(3,1)如果0,02换算成极坐标依次是，，，【例2】在极坐标系中，过圆4cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．分析：由cos4得cos42．所以xyx422，22(2)4xy圆心坐标(2,0)过圆心的直线的直角坐标方程为2x．直线的极坐标方程为2cos。【变式1】在极坐标系中，圆心在()2，且过极点的圆的方程为（B）A、22cosB、22cosC、22sinD、22sin分析：圆心在()2，即指的是直角坐标系中的)02(，圆的直角坐标方程：22(2)2xy。圆的极坐标方程为22cos【变式2】已知曲线21,CC的极坐标方程分别为cos4,3cos（20,0），则曲线1C与2C交点的极坐标为_____.解:曲线21,CC的直角坐标方程分别为4)2(,322yxx,且0y，两曲线交点的直角坐标为（3，3）.所以，交点的极坐标为6,32【变式3】在极坐标系中，已知点A（1，43）和B)4,2(,则A、B两点间的距离是．解:如图所示,在△OAB中，65367,5||,4||AOBOBOA5sin21AOBOBOASAOB评述:本题考查极坐标及三角形面积公式，数形结合是关键。考向二曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化精品文档精品文档【例3】（1）曲线C:cos1.sin1xy(为参数)的普通方程为(C)A、22(1)(1)1xyB、22(1)(1)1xyC、22(1)(1)1xyD、22(1)(1)1xy（2）参数方程ttyttx11表示的曲线是（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、圆答案：B【变式1】已知抛物线C的参数方程为28,8.xtyt（t为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆2224(0)xyrr相切，则r=________。答案：2解：抛物线的标准方程为xy82，它的焦点坐标是)0,2(F，所以直线的方程是2xy，圆心到直线的距离为2【变式2】若直线340xym与圆sin2cos1yx（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是(,0)(10,).【变式3】直线2()1xttyt为参数被圆22(3)(1)25xy所截得的弦长为（）A、98B、1404C、82D、9343分析:2101xtxyyt，22(3)(1)25xy得圆心到直线的距离311322d，弦长=22282rd【例4】已知点(,)Pxy是圆222xyy上的动点，求2xy的取值范围。解：设圆的参数方程为cos1sinxy，22cossin15sin()1xy51251xy精品文档精品文档小结：①设动点的坐标为参数方程形式；②将含参数的坐标代人所求代数式或距离公式；③利用三角性质及变换公式求解最值.【变式5】在平面直角坐标系xOy中，点()Pxy，是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大值．解：因椭圆2213xy的参数方程为3cos(sinxy为参数），故可设动点P的坐标为(3cos,sin），其中02.因此313cossin2(cossin)2sin()223Sxy。所以,当6是，S取最大值2。【题后反思】1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，并且要保证消参的等价性，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。2.化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=(t)），再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=(t)（或x=f(t)）。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致。【课后巩固练习】1．椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin51cos3yx（）A、(-3，5)，(-3，-3)B、(3，3)，(3，-5)C、(1，1)，(-7，1)D、(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22yx，∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1