高中数学讲义微专题69--直线与圆锥曲线的位置关系

微专题69直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线ykxm和椭圆：222210xyabab为例（1）联立直线与椭圆方程：222222ykxmbxayab（2）确定主变量x（或y）并通过直线方程消去另一变量y（或x），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：222222bxakxmab，整理可得：22222222220akbxakxmamab（3）通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系①0方程有两个不同实根直线与椭圆相交②0方程有两个相同实根直线与椭圆相切③0方程没有实根直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线ykxm和椭圆：222210xyabab为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222ykxmbxayab，消元代入后可得：22222222220bakxakxmamab（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220akb，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222bak，有可能为零。所以要分情况进行讨论当2220bbakka且0m时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线相交，只有一个公共点当2220bbbakkaa时，常数项为22220amab，所以0恒成立，此时直线与双曲线相交当2220bbakka或bka时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断：①0方程有两个不同实根直线与双曲线相交②0方程有两个相同实根直线与双曲线相切③0方程没有实根直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为,,aa，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当xa时，点位于双曲线的右支；当xa时，点位于双曲线的左支。对于方程：22222222220bakxakxmamab，设两个根为12,xx①当2220bbbakkaa时，则2222122220amabxxbak，所以12,xx异号，即交点分别位于双曲线的左，右支②当2220bbakka或bka，且0时，2222122220amabxxbak，所以12,xx同号，即交点位于同一支上（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点ba刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置关系的判定①bka且0m时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点②bbkaa时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。③2220bbakka或bka时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：直线不一定与双曲线有公共点（与的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离1、位置关系的判定：以直线ykxm和抛物线：220ypxp为例联立方程：2222ykxmkxmpxypx，整理后可得：222220kxkmpxm（1）当0k时，此时方程为关于x的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与抛物线相交（2）当0k时，则方程为关于x的二次方程，可通过判别式进行判定①0方程有两个不同实根直线与抛物线相交②0方程有两个相同实根直线与抛物线相切③0方程没有实根直线与抛物线相离2、焦点弦问题：设抛物线方程：22ypx，过焦点的直线:2plykx（斜率存在且0k），对应倾斜角为，与抛物线交于1122,,,AxyBxy联立方程：2222222ypxpkxpxpykx，整理可得：22222204kpkxkppx（1）2124pxx212yyp（2）2212222222121kppkppABxxpppkkk22221cos22121tansinsinppp（3）221112sinsin2222sin2sinAOBOlpppSdABOFAB（四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式：1、直线与圆锥曲线问题的特点：（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设1122,,,AxyBxy，至于,AB坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂（3）通过联立方程消元，可得到关于x（或y）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出1212,,,xxyy（所谓“设而不求”）（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点1122,,,AxyBxy为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（12121212,,,xxxxyyyy，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：（1）斜截式：ykxm，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去y则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件（2）xmyb，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程后消去x时使用，多用于抛物线22ypx（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直接体现斜率，当0m时，斜率1km4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:lykxm，l上两点1122,,,AxyBxy，所以2121ABkxx或21211AByyk（1）证明：因为1122,,,AxyBxy在直线l上，所以1122ykxmykxm221212ABxxyy，代入1122ykxmykxm可得：222212121212ABxxkxmkxmxxkxx222121211kxxkxx同理可证得21211AByyk（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果,AB为直线与曲线的交点（即AB为曲线上的弦），则12xx（或12yy）可进行变形：22121212124xxxxxxxx，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方程222210xyabab为例，设直线ykxm与椭圆交于1122,,,AxyBxy两点，则该两点满足椭圆方程，有：22112222222211xyabxyab考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：2222121222110xxyyab①1212121222110xxxxyyyyab121212122211022xxyyxxyyab②由等式可知：其中直线AB的斜率1212yykxx，AB中点的坐标为1212,22xxyy，这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线AB的斜率与AB中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及,AB坐标的平方差问题中也可使用点差法。二、典型例题例1：不论k为何值，直线1ykx与椭圆2217xym有公共点，则实数m的取值范围是（）A.0,1B.1,C.1,77,D.0,7思路一：可通过联立方程，消去变量（如消去y），得到关于x的二次方程，因为直线与椭圆有公共点，所以0在xR恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出m即可解：2222171777ykxmxkxmmxym，整理可得：22714770mkxkxm221447770kmkm即2217071mkmk2max711mk7m1,77,m思路二：从所给含参直线1ykx入手可知直线过定点0,1，所以若过定点的直线均与椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入0,1后2217xym，即2111mm，因为是椭圆，所以7m，故m的取值范围是1,77,答案：C小炼有话说：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键（2）本题还要注意细节，椭圆方程中22,xy的系数不同，所以7m例2：已知双曲线221124xy的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A.33,33B.3,3C.33,33D.3,3思路：由221124xy可得渐近线方程为：33yx，若过右焦点的直线与右支只有一个交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即333333kk答案：C小炼有话说：本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案，代数的推理如下：由221124xy可知4,0F，设直线:4lykx，联立方程可得：2222231234124xyxkxykx，整理后可得：2222132448120kxkxk当231303kk时，782802xx，即位于双曲线右支，符合题意当2130k时，222222441348124810kkkk直线与双曲线