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§1.4全称量词与存在量词[课标解读]1．理解全称量词与存在量词的含义．(难点)2．会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断全称命题与特称命题的真假．(重点)3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易错点)1．全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“对_______”“对任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“__”表示．(2)全称命题：含有________的命题叫作全称命题．(3)符号表示：符号简记为_______________，读作：对_____x属于M，有p(x)______．课前预习案·核心素养养成教材知识梳理所有的∀全称量词∀x∈M，p(x)任意成立2．存在量词与特称命题(1)存在量词：短语“________”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“__”表示．(2)特称命题：含有________的命题叫作特称命题．(3)符号表示：符号简记为______________，读作：“存在一个x0属于M，使p(x0)____．”存在一个∃存在量词∃x0∈M，p(x0)成立3．全称命题的否定全称命题p綈p结论∀x∈M，p(x)全称命题的否定是______命题∃x0∈M，綈p(x0)特称4.特称命题的否定特称命题p綈p结论∃x0∈M，p(x0)特称命题的否定是______命题∀x∈M，綈p(x)全称知识点一全称量词和全称命题探究：根据全称命题的概念，思考下列问题：(1)在全称命题中，量词是否可以省略？提示在有些全称命题中，全称量词是可以省略的，如“平行四边形的对角线互相平分”实际应解读为“所有平行四边形的对角线都互相平分”．核心要点探究(2)一个全称命题的表述是否惟一？提示不惟一．对于一个全称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可．知识点二存在量词和特称命题探究1：观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m5；Q：存在一个m0∈Z，m05.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？提示语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)提示常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．探究2：怎样区别全称命题和特称命题？提示全称命题含有或隐含全称量词，体现了任意、所有的意思，特称命题含有或隐含存在量词，体现了特殊存在性.知识点三命题的否定探究1：观察下面两个全称命题，完成以下问题：①每一个负数的平方都是正数．②∀x∈R，x2－2x＋30.(1)写出上述全称命题的否定，其否定还是全称命题吗？提示上述全称命题的否定分别为：①存在一个负数的平方不是正数．②∃x0∈R，x20－2x0＋3≤0.其否定都变成了特称命题．(2)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？提示不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．提示上述特称命题的否定分别为：①对任意一个数，它的绝对值都是正数．②∀x∈Z，x2－1≥0.其否定都变成了全称命题．探究2：观察下面的两个特称命题，完成以下问题：①存在一个数，它的绝对值不是正数；②∃x0∈Z，x20－10.(1)写出上述特称命题的否定，其否定还是特称命题吗？(2)特称命题否定后的命题与原特称命题的真假性有什么关系？提示特称命题的否定与原特称命题的真假性相反．判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)有的向量方向不定；(2)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(3)矩形的对角线不相等；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．课堂探究案·核心素养提升题型一全称命题与特称命题的判定例1【自主解答】(1)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(2)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．●规律总结判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路1．(1)命题“自然数的平方大于零”是________命题(填“全称”或“特称”)，其省略的量词是________．解析自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零，故该命题是全称命题，其省略的量词是“所有的”．答案全称所有的◎变式训练(2)判断下列命题是全称命题，还是特称命题．①凸多边形的外角和等于360°；②有一个实数a，a不能取对数；③任何数的0次方都等于1.解析①可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题；②含有存在量词“有一个”，因此是特称命题；③含有全称量词“任何”，故是全称命题．题型二全称命题与特称命题的真假判断例2判断下列命题的真假．(1)∀x∈R，都有x2－x＋112.(2)∃α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.【自主解答】(1)真命题．∵x2－x＋1－12＝x2－x＋12＝x－122＋14≥140，∴x2－x＋112恒成立．(2)真命题．例如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)假命题．例如x＝1，y＝5，x－y＝－4∉N.(4)真命题．例如x0＝0，y0＝3符合题意．●规律总结全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．2．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)∃x0，x0－2≤0；(2)三角形两边之和大于第三边；(3)有些整数是偶数．◎变式训练解析(1)特称命题．x0＝1时，x0－2＝－1≤0，故特称命题“∃x0，x0－2≤0”是真命题．(2)全称命题．三角形中，任意两边之和大于第三边，故全称命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．(3)特称命题.2是整数，2也是偶数．故特称命题“有些整数是偶数”是真命题．题型三全称命题与特称命题的否定写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x20＋4x0＋6≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.例3【解析】(1)綈p：∃x0∈R，x20－x0＋140，假命题．因为∀x∈R，x2－x＋14＝x－122≥0恒成立．(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋4x＋60，真命题．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.●规律总结(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．◎对点训练3．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)对任意x∈R，x3－x2＋1≤0.(2)所有能被5整除的整数都是奇数．(3)对任意的x∈Q，13x2＋12x＋1是有理数．解析(1)当x＝2时，23－22＋1＝5＞0，故(1)是假命题．命题的否定：存在x0∈R，x30－x20＋1＞0.(2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题．命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题．命题的否定：存在x0∈Q，13x20＋12x0＋1不是有理数．题型四全称命题、特称命题的综合应用(1)若“∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________．(2)已知命题p：“∃x0∈R，sinx0m”，命题q：“∀x∈R，x2＋mx＋10恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．例4【解析】(1)由于“∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值集合就是二次函数f(x)＝x2＋2x＋2的值域，即{m|m≥1}．(2)由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．因为“∃x0∈R，sinx0m”是真命题，所以m－1.又因为“∀x∈R，x2＋mx＋10恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－40，解得－2m2.综上所述，实数m的取值范围是(－1，2)．【答案】(1)[1，＋∞)(2)见解析●规律总结利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．(2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．4．已知命题p：x2－2x＋a≥0在R上恒成立，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．解析若p是真命题，则Δ＝4－4a≤0，所以a≥1；若q为真命题，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，依题意得p，q一真一假，当p真q假时，得a∈∅；当p假q真时，得a≤－2.综上所述，a的取值范围为a≤－2.◎对点训练命题“任意x∈R，若y0，则x2＋y0”的否定是________．短板补救案·核心素养培优易错误区(三)混淆命题的否定与否命题而致误例1典题示例【解析】已知命题是一个全称命题，其否定为特称命题，先将“任意”换成“存在”再否定结论，即命题的否定是：存在x0∈R，若y0，则x20＋y≤0.【答案】存在x0∈R，若y0，则x20＋y≤0[易错防范]1．混淆命题的否定与否命题两个概念，对条件与结论均作否定而导致错解．“存在x0∈R，若y≤0，则x20＋y≤0”．2．命题的否定只否定结论．否命题是条件和结论都要否定，如本例中命题的否定，否定结论没有否定条件．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|3”的否定是_______________．解析该命题是全称命题，因为含有量词“任何”，其否定应该是特称命题，既要改变量词，又要否定结论，故命题的否定是：“存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3”．答案存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3典题试解