高中数学必修二2.1-空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案

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2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面知识梳理1平面含义:平面是无限延展的2三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.符号表示为A∈lB∈l=lA∈B∈【公理1作用】判断直线是否在平面内.(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。符号表示为:A、B、C三点不共线=有且只有一个平面α,使A∈α、B∈α、C∈α。【公理2作】确定一个平面的依据。(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:P∈α∩β=α∩β=L,且P∈L【公理3作用】判定两个平面是否相交的依据.知能训练一.选择题1.已知m,n分别是两条不重合的直线,a,b分别垂直于两不重合平面α,β,有以下四个命题:①若m⊥α,n∥b,且α⊥β,则m∥n;②若m∥a,n∥b,且α⊥β,则m⊥n;③若m∥α,n∥b,且α∥β,则m⊥n;④若m⊥α,n⊥b,且α⊥β,则m∥n.其中真命题的序号是()A.①②B.③④C.①④D.②③2.在下列命题中,不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线3.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面LA·αC·B·A·αP·αLβD.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面4.下面四个说法中,正确的个数为()(1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合(2)两条直线可以确定一个平面(3)若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l(4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内.A.1B.2C.3D.45.已知空间三条直线l、m、n.若l与m异面,且l与n异面,则()A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能6.若m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题是()A.若m、n都平行于平面α,则m、n一定不是相交直线B.若m、n都垂直于平面α,则m、n一定是平行直线C.已知α、β互相垂直,m、n互相垂直,若m⊥α,n⊥βD.m、n在平面α内的射影互相垂直,则m、n互相垂直7.已知平面α,β,γ,直线m,l,点A,有下面四个命题,其中正确的命题是()A.若l⊂α,m∩α=A,则l与m必为异面直线B.若l∥α,l∥m,则m∥αC.若l⊂α,m⊂β,l∥β,m∥α,则α∥βD.若α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,则l⊥α8.已知α,β为互不重合的平面,m,n为互不重合的直线,给出下列四个命题:①若m⊥α,n⊥α,则m∥n;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,,则α∥β;③若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;④若m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β.其中所有正确命题的序号是()A.①③B.②④C.①④D.③④二.填空题9.(文)平面上三条直线x+2y-1=0,x+1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分为六部分,则实数k的所有取值为.(将你认为所有正确的序号都填上)①0②1/2③1④2⑤3.10.空间中有7个点,其中有3个点在同一直线上,此外再无任何三点共线,由这7个点最多可确定个平面.三.解答题1.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.求证:E,F,G,H四点必定共线.2.四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF:FC=2:3.DH:HA=2:3.(1)证明:点G、E、F、H四点共面;(2)证明:EF、GH、BD交于一点.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设a、b、c是三条直线a∥bc∥b强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4注意点:①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O一般取在两直线中的一条上;②两条异面直线所成的角θ∈(0,);③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。知能训练一.选择题1.已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α共面直线=a∥c22.如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC=2,SA=SB=AB=BC=SC=2,则异面直线AC与BE所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若棱BB1=BC=1,AB=,则异面直线D1B和AC所成角的余弦值为()A.1B./3C.1/2D./54.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1B1上,点Q在线段B1C1上,且B1P=B1Q,给出下列结论:①A、C、P、Q四点共面;②直线PQ与AB1所成的角为60°;③PQ⊥CD1;④VP-ABCD=VQ-AA1D.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.45.如图,正四面体A-BCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上,则在下列命题中,错误的为()A.O-ABC是正三棱锥B.直线AD与OB成45°角C.直线AB与CD互相垂直D.直线AD与OC成60°角6.已知不同平面α,β,γ,不同直线m,n,则下列命题正确的是()A.若α⊥β,α⊥γ,则β∥γB.若m∥α,n∥β,则α∥βC.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥βD.若m∥γ,n∥γ,则m∥n7.已知直线l和平面α,若l∥α,P∈α,则过点P且平行于l的直线()A.只有一条,不在平面α内B.有无数条,一定在平面α内C.只有一条,且在平面α内D.有无数条,不一定在平面α内8.已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直9.将正方形ABCD沿对角线AC折起,当三棱锥B-ACD体积最大时,直线AD与BC所成角为()A.B.C.D.10.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若点P(异于点B)是棱上一点,则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为()A.0B.3C.4D.6二.填空题11.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AB,A1D1上的点,PQ⊥AC,则PQ与BD1所成角的余弦值得取值范围是。12.已知二面角α-l-β的大小为60°,A∈α,B∈β,AC⊥l于C,BD⊥l于D,AC=BD=4,CD=3,则AD与BC所成角的余弦值为.13.已知圆柱Ω的母线长为l,底面半径为r,O是上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图,若直线OA与BC所成角的大小为,则=.三.解答题14.如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.求证:PB∥平面EFG;2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α知能训练一.选择题(共8小题)1.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是()A.若m∥α,n∥α.则m∥nB.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若m∥α,m∥β,则α∥βD.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β2.已知三条直线a,b,c和平面β,则下列推论中正确的是()A.若a∥b,b⊂β,则a∥βB.若a∥β,b∥β,则a∥b或a与b相交C.若a⊥c,b⊥c,则a∥bD.若a⊂β,b∥β,a,b共面,则a∥b3.下列命题中,是假命题的为()A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.垂直于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一直线的两个平面平行4.a,b,c表示直线,M表示平面,给出下列四个命题:①若a∥M,b∥M,则a∥b;②若b⊂M,a∥b,则a∥M;③若a⊥c,b⊥c,则a∥b;④若a⊥M,b⊥M,则a∥b.其中正确命题的个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点,点M、N分别是线段D1E与C1F上的点,则满足与平面ABCD平行的直线MN有()A.0条B.1条C.2条D.无数条6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别C1D1,BC是的中点,则下列判断正确的是()A.MN∥BD1B.MN⊥AB1C.MN∥平面BDD1D.MN⊥平面AB1C7.已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1棱BB1、AD的中点,则直线EF和平面BDB1D1所成的角的正弦值是()A.B.C.D.8.△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为()A.1B.C.D.1或二.解答题(共3小题)9.在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别为DD1,BB1的中点,G为线段D1F上一点.请判断直线AG与平面BEC1之间的位置关系,并给出证明.【参考答案】2.1.11.D2.A3.B4.A5.D6.B7.D8.A9.①③④10.2611.解:∵AB∥CD,∴AB,CD确定一个平面β.又∵AB∩α=E,AB⊂β,∴E∈α,E∈β,即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点.∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,∴E,F,G,H四点必定共线.12.证明:(1)∵E、G分别为BC、AB的中点,∴EG∥AC又∵DF:FC=2:3.DH:HA=2:3,∴FH∥AC.∴EG∥FH所以,E、F、G、H四点共面.(2)由(1)可知,EG∥FH,且EG≠FH,即EF,GH是梯形的两腰,所以它们的延长线必相交于一点P∵BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线,而点P是上述两平面的公共点,∴由公理3知P∈BD.所以,三条直线EF、GH、BD交于一点.2.2.21.B2.C3.D4.B5.D6.C7.C8.B9.D10.B11.[,1]12.13.14.(1)证明:取AB的中点M,连接EM,MG.∵MG∥AD,AD∥EF,∴MG∥EF.∴四点E,F,G,M共面.而在三角形PAB中,PB∥EM,又PB⊄平面EFGM,EM⊂平面EFGM.∴PB∥平面EFGM.即得PB∥平面EFG.2.1.31.B2.D3.A4.B5.D6.C7.B8.D9.AG∥平面BEC1.证明:连结AF,AD1.∵E,F为DD1,BB1的中点,∴ED1与BF平行且相等,∴四边形BED1F为平行四边形,∴D1F∥BE,∴D1

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