不等式常见考试题型总结

1《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12%左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．二、常见考试题型（1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）（2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法）（3）不等式大小比较常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。（4）不等式求函数最值技巧一：凑项例：已知54x，求函数14245yxx的最大值。技巧二：凑系数例.当时，求(82)yxx的最大值。技巧三：分离例.求2710(1)1xxyxx的值域。2技巧四：换元例.求2710(1)1xxyxx的值域。技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。）例：求函数2254xyx的值域。技巧六：整体代换（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。）例：（1）已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。（2）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(3)已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值技巧七、利用1cossin22转换式子技巧八、已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a2＋b22。同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为12，x1＋y2＝x2·1＋y22＝2x·12＋y22下面将x，12＋y22分别看成两个因式：x·12＋y22≤x2＋(12＋y22)22＝x2＋y22＋122＝34即x1＋y2＝2·x12＋y22≤342技巧九：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解二是直接用基本不等式。例：1.已知a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧十：取平方例、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.（5）证明不等式常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。3基本不等式—最值求法的题型基础题型一：指数类最值的求法1.已知3ab，求33ab的最小值。变式1.已知23ab，求39ab的最小值。变式2.已知2xy，求133xy的最小值。变式3.已知23xy，求124xy的最小值。变式4.已知点(,)xy在直线112yx上，求139xy的最小值。基础题型二：对数类最值的求法2.已知0,0xy，且24xy，求22loglogxy的最大值。变式1.已知0,0xy，且24xy，求1122loglog3xy的最小值。变式2.已知点(,)xy是圆226xy在第一象限内的任一点，求33loglogxy的最大值。能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）1.已知2x,求1()12fxxx的最小值。变式1.已知3x,求4()232fxxx的最小值。变式2.已知1x,求4()21fxxx的最大值。能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）1.已知0,0xy,且21xy，求21xy的最小值。2.变式1.已知0,0xy,且23xy，求23xy的最小值。变式2.已知0,0xy,且32xy，求12xy的最大值。能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数）1.已知0,0xy,且2221xy，求212xy的最大值。变式1.已知0,0xy,且2223xy，求221xy的最大值。变式2.已知0,0ab,且223ab，求212ab的最小值。4能力题型四：对勾函数及其应用【对勾函数】1yxx，由1xx得顶点的横坐标为1x。byaxx,由baxx得顶点的横坐标为bxa。(1)11bbyaxaxaxx,由(1)1baxx得顶点的横坐标为1bxa。例1.求2([1,4])yxxx的值域。变式1.求2([2,1])yxxx的值域。变式2.求23([2,4])yxxx的值域。例2.求4(2)1yxxx的值域。变式1.求12(3)2yxxx的值域。变式2.求2(2)1yxxx的值域。例3.求4sin(0)sin2yxxx的值域。变式1.求4sin(0)sin1yxxx的值域。变式2.求2cos(0)cos1yxxx的值域。基本不等式例题例1.已知,且，求的最小值及相应的值.例2.的最小值为________。例3．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）例4．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则5的最小值为_________．例5.若，则的最小值是（）例6．下列各函数中，最小值为2的是()AB.C.D.例7（1）已知54x，求函数14245yxx的最大值.（2）求函数1422xxy的最小值求22242yxx的最大值.练习.设，则的最大值为例8.已知,，且.求的最大值及相应的的值例9若x，y是正数，则22)21()21(xyyx的最小值是练习：已知实数x，y满足x+y－1=0，则x2+y2的最小值例10.若实数a、b满足a+b=2，是3a+3b的最小值是基本不等式证明例已知a，b为正数，求证：abba≥ba．例实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为xy(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为82m，问xy分别为多少时用料最省？6基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）(3)若*,Rba，则22baab(当且仅当ba时取“=”）3.若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“=”）3.若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“=”）4.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x解：（1）y＝3x2＋12x2≥23x2·12x2＝6∴值域为[6，+∞）（2）当x＞0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2；当x＜0时，y＝x＋1x=－（－x－1x）≤－2x·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求(82)yxx的最大值。7解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。技巧三：分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()AymgxBABgx，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.8（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx(3)12sin,(0,)sinyxxx2．已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；3．203x，求函数(23)yxx的最大值.条件求最值1.若实数满足2ba，则ba33的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：ba33和都是正数，ba33≥632332baba当ba33时等号成立，由2ba及ba33得1ba即当1ba时，ba33的最小值是6．变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值技