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圆的标准方程与一般方程【重难点精讲】重点一、圆基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径标准方程圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2图示说明若点M(x，y)在圆C上，则点M的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在圆C上重点二、点与圆的位置关系圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝2200()()xayb.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外dr(x0－a)2＋(y0－b)2r2点在圆上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内dr(x0－a)2＋(y0－b)2r2重点三、圆的一般方程(1)方程：当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为C(－D2，－E2)，半径为r＝12D2＋E2－4F．(2)说明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．当且仅当D2＋E2－4F0时，表示圆：当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点(－D2，－E2)；当D2＋E2－4F0时，不表示任何图形．(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程；②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．重点四、二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F0．重点五、求轨迹方程的五个步骤：①建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②设点：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}；③列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；④化简：化方程F(x，y)＝0为最简形式；⑤查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．【典题精练】考点1、求圆的标准方程例1．已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(4,1)，B(1,5)，C(3,2)；（1）求直线AB方程的一般式；（2）证明△ABC为直角三角形；（3）求△ABC外接圆方程．【解析】（1）直线AB方程为：y1x-45-11-4，化简得：43y-19=0x；（2）AB514-1-43k；BC5231--34k（），∴ABBC=-1kk，则ABBC∴△ABC为直角三角形（3）∵△ABC为直角三角形，∴△ABC外接圆圆心为AC中点M1322，，半径为r=22|AC|4+3+1-252==222（）（），∴△ABC外接圆方程为221325x-+y-=222考点点睛：(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．考点2、判断点与圆的位置关系例2．已知圆过两点1,4A、3,2B，且圆心在直线0y上.（1）求圆的标准方程；（2）判断点2,4P与圆的关系.【解析】（1）圆心在直线0y上，设圆心坐标为,0Ca，则ACBC，即2211634aa，即2211634aa，解得1a，即圆心为1,0，半径rAC211162025则圆的标准方程为22120xy（2）221204PC916255r点2,4P在圆的外面.考点点睛：点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较；(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．考点3、圆的标准方程的综合应用例3．已知一圆的圆心C在直线210xy上，且该圆经过3,0和1,2两点.（1）求圆C的标准方程；（2）若斜率为1的直线l与圆C相交于A，B两点，试求ABC面积的最大值和此时直线l的方程.【解析】（1）方法一：3,0和1,2两点的中垂线方程为：10xy，圆心必在弦的中垂线上，联立21010xyxy得1,0C，半径2r=，所以圆C的标准方程为：2214xy.方法二：设圆C的标准方程为：222xaybr，由题得：2222222103012ababrabr，解得：102abr所以圆C的标准方程为：2214xy.（2）设直线l的方程为0xym，圆心C到直线l的距离为d，∴12md，且0,2d，222224ABrdd，ABC面积22242144242SdABddddd，当22d，20,2d时，S取得最大值2此时122m，解得：1m或3所以，直线l的方程为：10xy或30xy.考点点睛：确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法．(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程，常用的几何性质有：①圆的弦的垂直平分线过圆心；②两条弦的垂直平分线的交点为圆心；③圆心与切点的连线垂直于切线；④圆心到切点的距离等于圆的半径；⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形；⑥直径所对圆周角为直角等．(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：①设：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②列：由已知条件，建立关于a、b、r的方程组；③解：解方程组，求出a、b、r；④代：将a、b、r代入所设方程，得所求圆的方程．考点4、二元二次方程与圆的关系例4．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．【解析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，rmax=，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．考点点睛：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．考点5、用待定系数法求圆的方程例5．分别根据下列条件，求圆的方程.（1）过点(4,0)A，(0,2)B和原点；（2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线2350xy上.【解析】（1）设圆的方程为220xyDxEyF，由题意，04201640FEFDF，解得024FED，故所求圆的方程为22420xyxy.（2）由圆心在直线2350xy上，设圆心的坐标为25(,)3aa，因为圆与两坐标轴均相切，所以25||||3aa，解得5a或1a.当5a时，圆心为(5,5)，半径为5，则圆的方程为22(5)(5)25xy；当1a时，圆心为(1,1)，半径为1，则圆的方程为22(1)(1)1xy；故所求圆的方程为22(5)(5)25xy或22(1)(1)1xy.考点6、求轨迹方程的常用方法：例6．已知1,0A，2,0B，动点,Mxy满足12MAMB.设动点M的轨迹为C.（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；（3）设直线:lyxm交轨迹C于,PQ两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）22221122xyxy，化简可得：2224xy，所以动点M的轨迹方程为2224xy.轨迹C是以2,0为圆心，2为半径的圆.（2）设过点B的直线为2ykx，圆心到直线的距离为2421kdk.∴3333k，即min33k.（3）假设存在，联立方程得2224yxmxy，得222220xmxm，0,即222222m.设1122,,,PxyQxy，则122xxm，2122mxx，由题意知PAQA，∴1212121211110xxyyxxxmxm.∴212122110xxmxxm，得2310mm，3132m且满足0，∴存在以线段PQ为直径的圆经过A，此时3132m.考点点睛：求轨迹方程的常用方法包括：(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：(2)代入法(也称相关点法)若动点P(x，y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x0，y0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．具体步骤如下：①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，与点P相关的动点Q(x0，y0)；②根据条件列出x，y与x0、y0的关系式，求得x0、y0(即用x，y表示出来)；③将x0、y0代入已知曲线的方程，从而得到点D(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程．(3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．