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12.3角的平分线的性质第十二章全等三角形第1课时角平分线的性质一、教学目标（一）知识与技能1.会作已知角的平分线；2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.（二）过程与方法在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的性质的证明及应用；难点：角的平分线的性质的探究.激情导课如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？导入新课用量角器度量，也可用折纸的方法．问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ABC(E)D其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO尺规作角平分线一做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线.仔细观察步骤作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点MN为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.12已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分线.结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________PDPE第一次第二次第三次COBAPD=PEpDE实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质二验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.方法归纳性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PE推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知），∴=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC(2)∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.∴=,()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.BACPMDE4温馨提示：存在两条垂线段———直接应用典例精析ABCP变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.D4温馨提示：存在一条垂线段———构造应用ABCP变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面积.D14PDBCPDPBDBPCPBDBBCDBADDBAB（3）求∆PDB的周长.·AB·PD=28.12PDBS由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，=1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件知识与方法利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解当堂练习2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.ABCD3E1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=度，BE=.60BFEBDFACG3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMNCOA4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3DBCEAD解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，解得AC＝3.F114227,22ABCSAC方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．EDCBA68105.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：(1)哪条线段与DE相等？为什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴AE＝AB-BE=2.∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD与BC之间的距离为6.7.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.,,DFDECDCD课堂小结角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段双基检测1、如图5所示，在△ABC中，∠C=90，BC=40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC：DB=3：5，则点D到AB的距离是___________。2、如图6所示，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N，则下列结论中错误的是（）A．CM=CNB.OM=ONC.∠MCO=∠NCOD.ON=CM3、如图7,在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？⑵哪条线段与DE相等？ABCD图5图6图7AEDBC