高三数学精品讲义：比较大小的方法总结

高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.【方法归纳】（一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分0,11,0,11,0,11,30.52log0.50,log0.30,log301113423,4,511111143634212121233,44,55割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）（2）（3）（4）换底公式：进而有两个推论：（令）（二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、导数运算法则：（1）（2）3、常见描述单调性的形式（1）导数形式：单调递增；单调递减2log32221log2log3log422log3nmmnaalogloglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNNloglog0,1,0naaNnNaaNlogloglogcacbba1loglogabbacbloglogmnaanNNmfx,ab121212,,,xxabxxfxfx'''fxgxfxgxfxgx'''2fxfxgxfxgxgxgx'0fxfx'0fxfx（2）定义形式：或：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系12120fxfxxx12120xxfxfxfxxa,afxxa,a下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2019全国Ⅰ卷理数】已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】即则．故选B．例2.【2019全国Ⅱ卷理数】若ab，则（）A．ln(a−b)0B．3a3bC．a3−b30D．│a││b│【答案】C【解析】取，满足，但，则A错，排除A；由，知B错，排除B；取，满足，但，则D错，排除D；因为幂函数是增函数，，所以，即a3−b30，C正确.故选C．例3.【2019全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则0.20.32 log0.220.2abc，，abcacbcabbca22log0.2log10,a0.20221,b0.3000.20.21,c01,cacb2,1ababln()0ab2193331,2abab|1||2|3yxab33abfx0,+A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C．例4.【2017天津】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C．f14f322f232f14f232f322f322f232f14f232f322f14fxR331(log)(log4)4ff223303322333log4log31,1222,log422fx23323(log4)22fff23323122log4fff()fx()()gxxfx2(log5.1)ag0.8(2)bg(3)cgabccbabacbcaC()fxR0x()0fx()()gxxfxR[0,)22(log5.1)(log5.1)agg0.82245.1822log5.130.8202log5.130.82(2)(log5.1)(3)gggbac例5.【2017山东】若ab0，且ab=1，则下列不等式成立的是A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，且，所以，所以选B.例6.【2019天津理数】已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，，即，所以.故选A.【最新模拟】1．（2020·福建高三（理））设12ae，24be，12ce，323de，则abcd,,,的大小关系为（）21log2abaabb21log2ababab21log2abaabb21log2ababab0ab1ab221,01,1,loglog21,2abababab12112logabaabaabbb5log2a0.5og2.l0b0.20.5c,,abcacbabcbcacab551log2log52a0.50.5log0.2log0.252b10.200.50.50.5c112cacbA．cbdaB．cdabC．cbadD．cdba.【答案】B【解析】3241eaee，2416be，222444ecee，249ede，由于2.7e，27.39e，320.09e，所以cdab，故选：B．2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）.A．abcB．cbaC．cabD．bca【答案】B【解析】1(15171410151717161412)14.710a，中位数为1(1515)152b，众数为=17c.故选：B.3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log6p，5log10q，7log14r，则p，q，r的大小关系为（）A．qprB．prqC．pqrD．rqp【答案】C【解析】依题意得31+log2p，51log2q，71log2r，而357log2log2log2，所以pqr.4.（2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件、C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212311101aaaaaaqaqq或1001aq，所以数列｛an｝是递增数列,若数列{an}是递增数列，则“a1＜a2＜a3”，因此“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的充分必要条件，选C5．（2020·四川棠湖中学高三月考（文））设2018log2019a，2019log2018b，120192018c，则a，b，c的大小关系是（）．A．abcB．acbC．cabD．cba【答案】C【解析】因为20182018201811log2018log2019log2018,2a201920191log2018log2019,2b102019201820181c，故本题选C.6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log0.1,0.5abc，则（）A．abcB．bacC．acbD．bca【答案】C【解析】0.10.1341,log0.10,00.51abc，acb，故选C.7．（2020·河南高三月考（文））己知46a，544log21b，2.913c，则（）A．abcB．acbC．bcaD．cab【答案】B【解析】因为10446661a，2.905544411loglog10,012133bc，所以acb，故选：B.8.（2020·广东高三月考（文））已知3log8a，0.80.25b，8c，则（）A．abcB．bacC．bcaD． acb【答案】D【解析】3log82，0.80.81.61.50.25422222，∴acb．故选：D.9.（2020·新兴县第一中学高三期末（理））函数2xbfxxc的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．0,0bcB．0,0bcC．0,0bcD．0,0bc【答案】C【解析】∵2xbfxxc的图象与y轴交于M,且点M的纵坐标为正，∴20byc，故0b，2xbfxxc定义域为|xxc其函数图象间断的横坐标为正，∴0c，故0c.故选：C10.（2020·云南高三（理））已知1t，235=log,log,=logxtytzt，则A．235xyzB．523zxyC．352yzxD．325yxz【答案】D【解析】由题意2222loglogxtt，33333loglogytt，55555loglogztt，又1162228，11336339，易知113223，11510525，11102232，即115252，∴1115321523，又1t，∴3