两直线的位置关系

第2课时两直线的位置关系1．判定两条直线的位置关系(1)两条直线的平行①若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔且，l1与l2重合⇔.②当l1，l2都垂直于x轴且不重合时，则有.③若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1，l1与l2重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)．k1＝k2b1≠b2k1＝k2且b1＝b2l1∥l2(2)两条直线的垂直①若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔.②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线．③若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔.(3)直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2相交的条件是.直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的条件是.k1·k2＝－1垂直A1A2＋B1B2＝0k1≠k2A1B2≠A2B12．点到直线的距离点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)的距离.3．两平行线间的距离两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为.d＝|C1－C2|A2＋B2d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B24．直线系问题与Ax＋By＋C＝0平行的直线方程(包括原直线)：Ax＋By＋λ＝0(λ为待定系数)．若所求直线过P(x0，y0)点，则方程为：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为：Bx－Ay＋λ＝0(λ为待定系数)．若所求直线过P(x0，y0)点，则方程为：B(x－x0)－A(y－y0)＝0.过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，且不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)．1．已知点(m,1)(m0)到直线l：x－y＋2＝0的距离为1，则实数m的值为()A.2B．2－2C.2－1D.2＋1答案C解析d＝|m－1＋2|12＋－12＝1，解得m＝2－1或m＝－2－1(舍)．2．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于()A．2B．1C．0D．－1答案D解析y＝ax－2⇔ax－y－2＝0，y＝(a＋2)x＋1⇔(a＋2)x－y＋1＝0.∵两直线垂直，∴a(a＋2)＋(－1)(－1)＝0.解得a＝－1，故选D.3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0距离相等，则m的值为()A．－6或12B．－12或1C．－12或12D．0或12答案A解析直线mx＋y＋3＝0与直线AB平行或直线mx＋y＋3＝0过AB中点，∴－m＝4－2－1－3＝－12，即m＝12；AB中点(1,3)，∴m＋3＋3＝0，即m＝－6，故选A.4．点P在直线2x＋3y＋1＝0上，P点到A(1,3)和B(－1，－5)的距离相等，则点P的坐标是________．答案(85，－75)解析∵A、B的中点坐标为(0，－1)，kAB＝4，∴线段AB的垂直平分线为y＝－14x－1.解方程组2x＋3y＋1＝0，y＝－14x－1，得x＝85，y＝－75.故点P的坐标为(85，－75)．5．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．答案x＋2y－3＝0解析在直线x－2y＋1＝0上任取两点(1,1)，(0，12)，这两点关于直线x＝1的对称点分别为(1,1)，(2，12)，过这两点的直线方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.例1已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.【解析】(1)∵m2－8＋n＝0，且2m－m－1＝0，∴m＝1，n＝7.(2)由m·m－8×2＝0，得m＝±4.由8×(－1)－n·m≠0，得m＝4，n≠－2，或m＝－4，n≠2.即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2，又－n8＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.探究1(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.如果有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)注意转化与化归思想的应用．思考题1(2013·大连月考)已知直线l1：(a－2)x＋3y＋a＝0，l2：ax＋(a－2)y－1＝0.当l1⊥l2时，求a的值及垂足的坐标．【解析】当a＝2时，l1：y＝－23，l2：x＝12.此时，l1⊥l2且垂足坐标为(12，－23)．当a≠2时，k1＝－a－23，k2＝－aa－2.由l1⊥l2知：k1·k2＝a3＝－1，∴a＝－3.∴l1：－5x＋3y－3＝0，l2：－3x－5y－1＝0.由5x－3y＋3＝0，3x＋5y＋1＝0，解得x＝－917，y＝217.∴l1与l2的垂足坐标为(－917，217)．综上所述：a的值为2，垂足坐标为(12，－23)或a的值为－3，垂足坐标为(－917，217)．【答案】a＝2，垂足坐标为(12，－23)或a＝－3，垂足坐标为(－917，217)例2(2013·北京东城区)若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.【解析】由题意，得6a2＋a4＝|4a－a2＋6|a2＋a4，即4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6.检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6.【答案】－2或4或6思考题2已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程．【解析】∵l1∥l2，∴m2＝8m≠n－1.∴m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2.(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0.∴|n＋2|16＋64＝5，解得n＝－22或n＝18.所以，所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0.∴|－n＋2|16＋64＝5，解得n＝－18或n＝22.所以，所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.例3求经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程．【思路】(1)先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程．(2)因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，两条直线的斜率互为负倒数，所以可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，将两条直线的交点坐标代入求出m值，就得到所求直线方程．(3)设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋(1＋4λ)＝0，再利用垂直关系建立λ的方程，求出λ即可得到所求直线方程．【解析】方法一由方程组2x＋3y＋1＝0，x－3y＋4＝0，解得x＝－53，y＝79.∴交点为(－53，79)．∵所求直线与3x＋4y－7＝0垂直，∴所求直线的斜率k＝43.由点斜式，得y－79＝43(x＋53)．故所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.方法二设所求直线的方程为4x－3y＋m＝0.将方法一中求得的交点坐标x＝－53，y＝79.代入上式得4·(－53)－3·79＋m＝0.∴m＝9.代入所设方程．故所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.方法三∵所求直线过点(－53，79)，且与直线3x＋4y－7＝0垂直，∴所求直线的方程为4(x＋53)－3(y－79)＝0，即4x－3y＋9＝0.方法四设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0.即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.①又因为直线①与3x＋4y－7＝0垂直．则有3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2.代入①式得所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.【答案】4x－3y＋9＝0探究2在已知位置关系求直线方程时，灵活利用直线系较简便：几种常用的直线系方程如下：(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(2)过定点(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为参数)及x＝x0.(3)平行直线系方程：与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m为参数且m≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解．思考题3求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【解析】方法一先解方程组3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，得l1、l2的交点(－1,2)，再由l3的斜率35求出l的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－53(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.方法二∵l1⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.方法三∵l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53.解得λ＝15，代入直系方程得l的方程为5x＋3y－1＝0.例4已知直线(3a－1)x－(a－2)y－1＝0.(1)求证：无论a为何值，直线总过第一象限；(2)若直线不经过第二象限，求a的取值范围．【思路】(1)求出直线系的定点，由定点在第一象限即可证明直线总过第一象限；(2)当直线的斜率存在时，直线不经过第二象限的充要条件是直线的斜率不小于零，且直线在y轴上的截距不大于零，从而建立参数a的不等式组即可求解；当直线的斜率不存在时，验证即可．【解析】(1)方程可化为(－x＋2y－1)＋a(3x－y)＝0.由－x＋2y－1＝0，3x－y＝0，可得直线过定点M(15，35)．因点M在第一象限，故无论a为何值直线总过第一象限．(2)当a＝2时，直线为x＝15，显然不过第二象限；当a≠2时，方程化为y＝3a－1a－2x－1a－2.直线不经过第二象限的充要条件为3a－1a－2≥0，－1a－2≤0，解得a2.综上，a≥2时，直线不经过第二象限．例5已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．【解析】(1)设A′(x，y)，由已知条件得