三角函数的图像及性质(教师版)

1三角函数的图像及性质【知识要点】1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xx∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递增；[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上递增最值x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)π2＋kπ，0(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)对称轴方程x＝π2＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ2.求周期：sinyAxk，2T【课前小练】1.函数tan4yx的定义域是____________答案：∵x－π4≠kπ＋π2，∴｛x|x≠kπ＋3π4，k∈Z}.2.函数sin10yAxA的最大值是3，则它的最小值是____________答案：-13.函数2cosyx在区间,0上是________函数，在区间0,上是_________函数。答案：增，减24.下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A.cos2yxB.sin2yxC.tan2yxD.sin22yx答案：B选项A、D中的函数均为偶函数，C中函数的最小正周期为π2，故选B.【例题解析】考点一三角函数的定义域与值域例1：函数2sin2xxf的定义域（以下Zk）是（）A.22,42kkB.22,42kkC.432,42kkD.R答案：C∵2sin2x∴32244xkxk例2：求下列函数的值域：1）2sin3yx2）sin,,;36fxxx3）2sin2,,;63fxxx4）sin2sinxyx答案：3变式1：求下列函数的定义域1）函数xxytan1)1sin2lg(的定义域为____________2）函数1lgsincos2yxx的定义域为____________3）函数21()sintan16fxxxx的定义域为____________答案：1）先分析可知，2sin102tan1xxkx，解得：72,22,22664kkkk)(Zk2）由已知得：sin01cos2xx，解得，2,22kk)(Zk3）由已知得：244xkx变式2：求下列函数的值域1）3sin,,;44fxxx2）311113sin21,,;2128fxxx3）2cossin,44fxxxx.答案：1）2,12y2）322,12y43）125,24y考点二周期性例3：求下列函数的最小正周期(1))23πsin(xy；(2))4π2πtan(xy；(3)sinyx．答案：1）2=|-2|T2）=2||2T3）T例4：设()fx是定义域为R，最小正周期为32的函数，若cos(0)()2sin(0)xxfxxx，则15()4f的值等于（）A．1B．22C．0D．22答案：B变式3：1）求下列三角函数的周期：；；；答案：1）2=|2|T2）2T3）4T2）函数的最小正周期为（）A.2B.C.2D.无最小正周期答案：B3）函数xxxycos1sintan的最小正周期是___________答案：2sin2yx|cos2|yx3sin()25xyxytan5考点三函数的单调性例5：(1)函数)32sin(xy的单调递减区间为_____________.(2)函数2sinfxx在,64单调递增，那么的取值范围是（）A.120,5B.0,2C.3,2D.2,2答案：(1)7,]1212kkkZ[2sin2,2)22222212||462||5220(,)2223122628224=0020xkkkxkTkkxkkkkkCDB（）解：在（-递增-（）即当时得得时，又显然所以选项错，即选变式4:1）已知函数)23sin()(xxf，则函数在0-，上的单调递减区间为__________.答案：7,12122）函数lg(2cos3)yx的单调递增区间为()．A．(2,22)()kkkZB．11(2,2)()6kkkZC．(2,2)()6kkkZD．(2,2)()6kkkZ答案：C点评：求与对数型、根式型、分式型复合函数的单调区间，一定要注意定义域3）若函数()sin(0)fxx在区间[0,]3上单调递增,在区间[,]32上单调递减,则6（）A．8B．2C．32D．23答案：函数()sin(0)fxx在区间[0,]2上单调递增,在区间3[,]22上单调递减,则23,即32,答案应选C．另解1:令[2,2]()22xkkkZ得函数()fx在22[,]22kkx为增函数,同理可得函数()fx在223[,]22kkx为减函数,则当0,23k时符合题意,即32,答案应选C．另解2:由题意可知当3x时,函数()sin(0)fxx取得最大值,则2()32kkZ,36()2kkZ,结合选择项即可得答案4）已知ω0，函数f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是()A．[12，54]B．[12，34]C．(0，12]D．(0,2]答案：由π2xπ得π2ω＋π4ωx＋π4πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.考点四三角函数的奇偶性与对称性例6：1）求cos(3)5yx的对称中心和对称轴.2）函数|tan|xy的周期和对称轴分别为（）A．)(2,ZkkxB．)(,2Zkkx7C．)(,ZkkxD．)(2,2Zkkx答案：+0103kkZ（1）对称中心：（，），=+153kxkZ对称轴：，（2）D例7：已知Ra，函数Rxaxxf|,|sin)(为奇函数，则a＝（）A．0B.1C.－1D.±1答案：A变式5：1）函数)3π21sin(2xy的一条对称轴方程为（）A．3π4xB．6π5xC．3πxD．3π2x答案：D2）设函数32sin4xxfRx，如果有1x与2x满足021xfxf，那么21xx与的关系是_________________.答案：122kxx)(Zk3）如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点)0,34(中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案：由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos2π3＋φ＋2π＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为π6.4）已知函数3()sin,(1,1)fxxxx，如果2(1)(1)0fmfm，则m的取值范围是.答案：(1,2)【课后练习】81、判断下列说法是否正确：1）sinfxx在2,232kkkZ上是增函数（）；2）sinfxx在22,42kkkZ上是增函数（）；3）sinfxx函数图像上相邻两个对称中心横坐标的差是2（）；4）20132x是sinfxx函数图像的对称轴之一（）.2.方程cosxx在,内（）A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根3.直线ym与曲线cos0,2yxx的图像有两个交点1,xm和2,xm，则m的取值范围是_________，12xx=_________.4.已知函数cosfxx定义域为0,，求解不等式：22fxfx5.函数()2sin||2fxx的部分图象是（）答案：C6.对于函数xxxxxxxfcossincoscossinsin)(，，，则下列说法正确的是（）A.该函数的值域是1,1.B.当且仅当Zkkxk222时，0)(xf.C.当且仅当Zkkx22时，该函数取得最大值1.D.该函数是以为最小正周期的周期函数.