北师大版初一数学(上)讲义--有理数(学生版)

初一数学（上册）讲义第1页第二章：有理数一、有理数的意义及相关概念知识梳理1.正、负数的概念像1、21、1.2，...这样的大于零的数叫做正数;在正数的前面加上号的数叫做负数.0既不是正数也不是负数.我们常常用正数和负数表示一些相反意义的量.2.有理数的定义及分类整数和分数统称为有理数.有理数的分类：按符号分:有理数12,3...1112:,5.2,3,45%...2350:123...15:,,3.5....56正整数：如，正有理数正分数如，负整数如，，负有理数负分数如按定义分:有理数1,2,3...014:,,5.2,89%...232:58%0.16...3正整数：如整数负整数：如-1,-2,-3...正分数如分数负分数如-，-，-3.数轴：画一条水平的直线，在直线上取一点表示零（叫做原点）选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。（三要素：原点、单位长度、正方向。易混淆点：单位长度可任意选取。）初一数学（上册）讲义第2页有理数与数轴的关系任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。数轴的判断方法要判断是否为数轴，应抓住它的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可。数轴的表示方法数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方相对应点的上面，原点用O表出，它表示数0，数轴上的点对应的数用小写字母表示.写在数轴下方.数轴上原点位置根据需要来确定，不一定在中间，在同一数轴上，单位长度要相同。比较大小（数轴）数轴从左至右依次增大，所以先在数轴确定两个（或多个）数的位置，然后按它的特点进行判断。数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。比较两个负数的大小三大步骤：（1）先分别写出两负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小；（3）绝对值大的反而小。有理数大小的比较法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两负数绝对值大的反而小。4.相反数代数定义：只有符号不同的两个数，我们称其中一个为另一个的相反数，这两数也互称为相反数。0的相反数是0。几何定义：两个互为相反数的数在数轴上分别到原点的距离相等。5.绝对值代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。用式子表示为：||a)0()0(aaaa几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作“|a|”。初一数学（上册）讲义第3页易错知识辨析1.自然数,非负数,非正数,非零有理数所代表的数中零的位置;2.数轴上到任一点距离相等的点所表示的数有两个,他们不一定互为相反数;3.互为相反数的两个数不一定一正一负,绝对值等于本身的数是非负数,绝对值等于它的相反数的数是非正数.4.原点代表的有理数为零,并不代表没有,它代表的是一个基准值.课堂精讲例题【例1】训练重点:关注零在有理数中的地位,强化有理数是带符号的数的思想.1.下列说法：①零是正数②零是整数③零是最小的有理数④零是最小的自然数⑤零是最大的负数⑥零是非负数⑦零是偶数其中正确的说法为。2．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“—”表示成绩小于18秒｡这个小组女生的达标率是()A．25%B．37.5%C．50%D．75%3.七名同学的体重以48kg为标准,超过即为正,不足记为负,记录如下编号1234567与标准体重的差(kg)-3.0+1.5+0.80+0.3+1.2+0.5A.最接近标准体重的学生体重是多少?并说明这个有理数的意义.B.按体重的轻重排列时,恰好居中的是哪位同学?4．观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数,并写出第150个数.(1)1,-12,13,-14,15,-16,17,-18,_______,________,_______,第150个数是________;(2)1,-12,-13,-14,15,-16,-17,-18______,_______,_______,第150个数是________;(3)1,12,-13,-14,1,12,-13,-14_______,_______,_______,第150个数是________.初一数学（上册）讲义第4页【课堂训练题】1．如果a表示有理数,那么下列说法中正确的是（）(A)a和a一定不相等(B)a一定是负数(C))(a和)(a一定相等(D)||a一定是正数2.π是（）（A）整数（B）分数（C）有理数（D）以上都不对3.大于–3.5，小于2.5的整数共有（）个。（A）6（B）5（C）4（D）34.写出三个有理数，使它们满足：①是负数；②是整数；③能被2、3、5整除。答：____________。5.某公司今年第一季度收入与支出情况如表所示（单位：万元）月份一月二月三月收入324850支出121310请问：(1)该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？(2)如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？(3)该公司第一季度利润为多少万元？【例2】训练重点:数轴上的点与数的关系,点与点的距离与点的关系,初步形成数形结合的思想1．数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。2.一数轴上的A点到原点的距离为2.，那么数轴上到A点的距离为3的点所表示的数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.借助数轴列式回答下列问题(1)与原点相距32的点表示的数是什么?(2)与-3相距32的点表示的数是什么?(3)一个点A表示的数为-71,把A点向左移动2个单位后所得的点对应的数为什么?(4)两个点A,B分别表示的数为-1，41,有一个点C到这两个点的距离相等,则点C表示的数为什么?初一数学（上册）讲义第5页【课堂训练题】1．画一条数轴,并在数轴上找出比-123大,且比122小的整数点.2．根据下面给出的数轴,解答下列问题:(1)A、B两点之间的距离是多少?(2)画出与点A的距离为2的点(用不同于A、B的字母在所给的数轴上表示)｡(3)数轴上,线段AB的中点表示的数是多少?3.有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式正确的是（）A.abB.-a-bC.boD.ao【例3】训练重点:相反数,绝对值的意义,进一步理解有理数,提高运用数的能力.1.已知0||aa，则a是__________数；已知01||babab，那么a是_________数。2.(1)+5的相反数是–5，–5的相反数是5，那么数x的相反数是______，数–x的相反数是________；数ba12的相反数是_________；数nm21的相反数是____________。（2）因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系62214，那么到点100和到点999距离相等的数是_____________；到点46,57距离相等的点表示的数是____________；到点m和点–n距离相等的点表示的数是________。（3）已知点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系495，那么点10和点2.3之间的距离是____________；点m和点n（数n比m大）之间的距离是_____________。（4）数5的绝对值是5，是它的本身；数–5的绝对值是5，是它的相反数；以上由定理非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数而来。由这句话，正数–a的绝对值为__________；负数–b的绝对值为________；负数1+a的绝对值为________，正数–a+1的绝对值___________。-5-4-3-2-1012345AB初一数学（上册）讲义第6页3．(1)如果︱x-2︱=2,求x,并观察数轴上表示x的点与表示1的点的距离｡(2)在(1)的启发下求适合条件︱x-1︱3的所有整数x的值｡【课堂训练题】1.下列说法中正确的是（）A.正数的绝对值一定大于负数的绝对值B.相反数等于它本身的数只有零C.一个有理数不是正数就一定是负数D.绝对值等于它本身的数只有零.2.若0ab，则bbaa的取值不可能是（）A.0B.1C.2D.-23.绝对值大于1而小于4的整数有，这些整数之和为。4.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则mba＋m3－cd的值为。5.若2a＋（b-3）2=0,则a=,b=,ab2=.【巩固练习】1.11 ?22下列各数中，大于-小于的负数是（）2.3A1B.3－1.? 3C.0D2.文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（）A.文具店B.玩具店C.文具店西40米处D.玩具店西60米处3.在0，21，－51，－8，+10，+19，+3，－3.4,π中整数的个数是（）A.6B.5C.4D.34.下面是具有相反意义的量，请用箭头标出其对应关系初一数学（上册）讲义第7页5．如图,数轴上的点A．B．O、C．D分别表示-5、-1.5、0、2.5、6,回答下列问题.(1)O、C以及B．D两点间的距离各是多少?(2)你能发现所得的距离与这两点所对应的数的差有什么关系吗?并请说出这个关系;(3)假如数轴上任意两点A．B所表示的数是a、b,请你用一个式子表示这两点间的距离.6.若aa，则a;若aa，则a;若aa，则a;若aa，则a;若0a，则a;若1aa，则a;若1aa，则a。7．数轴上点A表示数-1,若|AB|=3,则点B所表示的数为__________________｡8.若2,3xy，则xy。9.(1)已知73a，209b，且ba，求a、b的值(2)已知0,0,,abab试用号将,,,abab连接起来。10.化简aa-a的结果是__________。DAOCB0-5-4-3-2-1654321初一数学（上册）讲义第8页二、有理数的运算知识梳理（一）有理数的加、减法1.有理数加、减法的定义（1）把两个数合成一个有理数的运算，叫做有理数的加法。（2）已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。2.有理数加、减法法则（重点）（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加（同号相加，符号不变，绝对值相加）（2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。（异号相加，符号同大，绝对值相减）（3）互为相反数的两数相加得零（4）一个数同零相加，仍得这个数(5)减去一个数，等于加上这个数的相反数3.有理数加法的运算律（难点）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即abba加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即()()abcabc4.有理数加减混合运算的方法和步骤（难点）第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算.（二）有理数的乘、除法1.有理数的乘、除法法则（重点）(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数与零相乘，积仍为零(2)两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数，都得0除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数2.倒数、负数的倒数（重点）(1)若两个有理数的乘积为1，则这两个有理数互为倒数(2)求一个负整数的倒数，直接写成这个数分之一即可；求一个负分数的倒数，把这个数的分子分母颠倒一下位置即可。初一数学（上册）讲义第9页3.有理数乘法法则的推广（难点）（1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；