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-1-第11章数的开方课程内容标准1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示．2.了解平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，会用平方、立方的运算求某些数的平方根与立方根，会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根．.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．4.能估计无理数的大小，培养估算能力，会进行简单的实数运算．单元教学分析§11.1平方根与立方根1.注意与平方、立方运算的联系与转化；2.注重对基本概念的理解与应用，熟悉必要的数学语言；3.重视计算器的使用及对估算的教学，防止对学生提出繁难的数字计算要求；4.注意把握好对已出现无理数的处理.§11.2实数与数轴1.让学生感知无理数的存在，数系扩展的必要.2.初步理解和接受实数与数轴上的点一一对应的思想.3.理解和接受有理数范围内相关概念和运算法则的自然延伸.11.1.1平方根（1）教学内容教科书P.2——P.3的内容教学目标：1、理解平方根的概念；2、认识平方与开平方的关系；3、会用平方根的概念求某些数的平方根。教学重点：平方根的概念和开平方运算。教学难点：平方根的概念；利用平方根和平方的关系解题。教学过程：一、复习引入1、我们将要学习的第12章叫：数的开方，那什么叫“数的开方”呢？我们已学过哪些数的运算?(加、减、乘、除、乘方5种)2、你能写出这些运算的符号吗？请举例说明。如一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算?(面积25平方米，运算是乘方运算)3、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)二、创设问题情境，解决问题1、请同学们欣赏本章导图，如果要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？这里该用哪种运算呢？通常这类不易直接列算式计算的问题，我们常用方程解决：设边长为xcm，则有x2=25，显然应取x=5。这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25。2.提出问题，探索解决问题的办法-2-(1)平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。问：有了这个规定以后，a是什么数?（让学生思考、交流后回答：a是非负数，即：a≥0）(2)在上述问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根、问：25的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于25?(因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根)从上述解决问题过程中，你能总结一下求一个数的平方根的方法吗?(根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根)三、范例1、例1、求100的平方根提问：(1)你能仿照上述问题解决的方法，求出100的平方根吗?（让学生讨论、交流后回答）(2)你能正确书写解题过程吗?（请一位同学口述，教师板书）(3)l0和－l0用±10表示可以吗?2、试一试（要求学生正确口述解答过程，及时纠正）(1)144的平方根是什么?(2)0的平方根是什么?(3)425的平方根是什么?(4)0.81的平方根是什么?(5)－4有没有平方根?为什么?3、通过点评，小结平方根的性质：只有非负数才有平方根。4、请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答，然后交流小结（写在练习本上）四、求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算与平方运算互为逆运算。例2、将100开平方分析：根据开平方的概念，“将100开平方”就是“求100的平方根”！你能解答吗？五、课堂练习：1、练习1说出下列各数的平方根：1、642、0.253、49812、将下列数开平方：①16②0.64③8149六、小结1、什么叫平方根?2、什么数才有平方根？为什么？3、什么叫开平方？七、作业教学后记：11.1.1平方根（2）教学内容教科书P.3——P.4的内容教学目标：1、了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。-3-2、了解开方运算与乘方运算是逆运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根。3、会利用开方运算求某些非负数的平方根。教学重点：算术平方根概念和开平方运算。教学难点：算术平方根意义及性质运用。教学过程：一、创设问题情境1、什么是平方根？求出36，1.44，81625各数的平方根2、我们知道：只有非负数才有平方根，那么：一个正数如果有平方根，那么有几个？它们之间的关系如何？0的平方根有几个？是什么数？二、算术平方根的概念及其应用1、算术平方根概念。正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即－a。因此正数a平方根可以记作±a，a称为被开方数。例如3表示3的算术平方根，±3表示3的平方根。提问：(1)有了这个规定之后，a是什么数?a是什么数?让学生讨论、交流，归纳得到结论：a是非负数；a是非负数，即a≥0（a≥0）。也就是说，当式子a有意义时，它一定表示一个非负数，即a≥0时它有意义。例：－3有意义吗?(2)算术平方根与平方根有什么联系和区别?我们知道，求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根。例如100的算术平方根是100＝10，100的平方根是±100＝±l0。2、范例例1、将下列各数开平方：(1)49(2)1.69按照题(1)的方法，解决题(2)，让学生明确开方运算与平方运算是互为逆运算，能够利用这个互逆运算关系求出某些非负数的算术平方根，进而求出平方根。问题：在例l，例2中，他们通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的，如果被开方数比较复杂，如1225，44.81等，那么如何进行计算呢?例2、用计算器求下列各数的算术平方根：1、5292、12253、44.81教学要点：(1)让学生动手操作，并交流计算结果，总结用计算器求一个非负数的算术平方根按健顺序、(2)阅读课本解题过程。补例（视情况选用）例3、若3x－5有平方根，求x的取值范围。例4、若某数的平方根a+2是和a－18，求a和这个数。例5、已知y=5-x+x-5+3，求x+y的值。例6、若x-2+x+y-4=0，求x、y的值。三、课堂练习：四、小结1、什么叫算术平方根?2、算术平方根与平方根有什么联系和区别?3、式子a中a应该满足什么条件?4、用计算器求一个非负数的算术平方根，其按键顺序如何?五、作业-4-教学后记：11.1.2立方根教学内容教科书P.5——P.6的内容教学目标：1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根、2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。3、会用计算器求立方根。教学重点：立方根和开立方概念，求一个数的立方根。教学难点：立方根性质及运用。教学过程：一、创设问题情境，引入立方根概念现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少?与“平方根”类似，让学生讨论和研究以下问题：问题1这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题?问题2你能找一个数，使这个数的立方等于216吗?问题3从这里可以抽象出一个什么数学概念?交流概括：P5立方根概念二、试一试让学生讨论以下问题1、27的立方根是什么?2、－27的立方根是什么?3、0的立方根是什么?让学生对以上问题逐一作答，教师作正确判断，并请同学自己也编三道求立方根的题目，并给出解答。根据以上题目的答案，回答以下问题：1、正数有几个立方根？2、0有几个立方根？3、负数有几个立方根?4、从以上问题中你发现了什么?(每一个数只有一个立方根)三、立方根和开立方1、立方根的性质：任何数(正数、负数或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个。2、数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”。a称为被开方数，3称为根指数。例如x3=6，则x是6的立方根，即x=36；而23＝8，则2是8的立方根，即38＝2。数a的平方根和立方根相同吗?学生讨论后回答，教师归纳为：0的平方根和立方根都是0，不为0的数的平方根和立方根不同。3、求一个数的立方根的运算，叫做开立方。四、例题例1、求下列各数的立方根：(1)64(2)－125(3)－0.008-5-教学要求上可以借助立方运算来求立方根，2、可以用立方运算来检验开立方是否正确；3、按照第一小题的方法，要求学生解决题(2)和题(3)让学生讨论、研究以下问题；1、32表示2的立方根，那么(32)3等于多少呢?323又等于多少呢?2、3a表示a的立方根，那么(3a)3等于多少呢?3a3又等于多少呢?例2、用计算器求下列各数的立方根；(1)1331(2)-343(3)9.263(精确到0.01)教学要点：(1)指出用计算器求一个有理数的立方根，只需要按书写顺序按键。若被开方数为负数，“一”号的输入可以按(－)，也可以按－、(2)对于第(2)小题，可引导学生用减号代替负号，或将被开方数加上括号试一试，看看是否计算出相同的结果、五、课堂练习：六、小结1、什么叫立方根?如何用根号表示一个数的立方根?2、什么叫开立方?如何求一个数的立方根?举例说明、3、(3a)3等于什么?3a3等于什么?4、正数，0，负数的立方根有何特点?七、作业教学后记：11.2实数（1）教学内容教科书P.8——P.9的内容教学目标：1、了解实数的意义，能对实数进行分类。2、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点表示无理数。3、会估计两个实数的大小。教学重点：无理数及实数概念。教学难点：理解无理数。教学过程：一、创设问题情境，导入实数的概念问题l用什么方法求2？其结果如何?问题2你能利用平方关系验算所得结果吗?问题3验证的结果并不是2，而是接近于2，这说明了什么问题?问题4如果用计算机计算2，结果如何呢?让学生阅读P15页计算结果，并指出；在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说2不-6-是有理数．有兴趣的同学可以看一看第18页的阅读材料．问题5那么，2是怎样的数呢?1．回顾有理数的概念．(1)有理数包括________和________(2)请你随意写出三个分数，将它化成小数，看一看结果。(3)由此你可以得到什么结论?(任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数)2．无理数的概念与有理数进行比较，2计算的结果是无限不循环小数，所以2不是有理数。提问：还有没有其他的数不是有理数?为什么?无限不循环小数叫做无理数．例如2、3、5、∏、35都是无理数．有理数与无理数统称为实数．二、试一试问题1按照计算器显示的结果，你能想像出2在数轴上的位置吗?问题2你能在数轴上找到表示2的点吗?请同学们准备两个边长为1的正方形纸片，分别沿它的对角线剪开，得到四个什么三角形?如果把四个等腰直角形拼成一个大的正方形，其面积为多少?其边长为多少?这就是说，边长为1的正方形的对角线长是2．利用这个事实，我们容易画出表示2的点，如图所示．三、反思提高问题1如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?问题2如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?让学生充分思考交流后，引导学生归结为：如果将所有有理数都标到数轴上，数轴未被填满；如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满。数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数(有理数或无理数)也都可以用数轴上的点来表示，即实数与数轴上的点一一对应。四、范例例1．试估计3＋2与∏的大小关系。说明：正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行。提问：若将本题改为：试估计－（3＋2）与－∏的大小关系，如何解答?让学生动手解答，并请一位同学板演，教师讲评．五、课堂练习：六、小结1．什么叫做无理数?实数?2．有理数和数轴上的点一一对应吗?为什么?无理数呢?实数呢？七、作业教学后记：-7-11.2实数(2)教学内容教科书P.10——P.11的内容教学目标：1．了解有理敷的相反数和绝对值等概念、运算法则以及运算律在实数范围内仍然适用．2．能利用运算法则进行简单四则运算．教学重点：实数的运算与大小比较。教学难点：实数的大小比较与运算技巧。教学过程：一、创设问题情境，导入新知1．复习提问(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。(2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律