高温作业专用服装设计

高温作业专用服装设计摘要本文主要研究高温作业专用服装设计，以Fourier定律和能量守恒定律为理论依据，建立了基于热传导方程的温度分布模型，借助追赶法求解。在问题一温度分布模型求解中。首先，基于Fourier定律和能量守恒定律，建立的基于热传导方程的温度分布模型。基于牛顿冷却定律，借助枚举法，确定空气与皮肤表面的转化系数，并给出初值温度37度、左边界Dirichlet边值条件，右边界Robin边值条件，及基于临界面热流量密度和温度相等的耦合条件。其次，将连续定解区域作网格剖分，用隐式向后差分格式对原微分方程组离散化，得到三对角线性方程组，借助追赶法求解，得到时间与空间维度下的温度分布，见problem1.xlsx。最后，对模型进行误差分析，定义偏差指数f并求得其值为0.4593，最大误差为1.99。在问题二求II介质最优厚度问题中，建立单目标优化模型。首先，基于对服装成本和舒适度的考虑，制定II介质厚度的“最优”准则——最小厚度为最优，进而确定优化目标；其次，确定约束条件：初值温度37度、左边界Dirichlet边值条件、右边界Robin边值条件、基于临界面热流量密度和温度相等的耦合条件及题目对于温度的限制条件；然后，用循环遍历的枚举法，借助matlab搜索出II介质的最优厚度为19.3mm。最后，对单目标优化模型作灵敏性分析，最优厚度与温度呈现线性关系。在问题三求II、IV介质厚度的问题中，建立多目标优化模型。首先，从成本与穿着舒适度两方面，制定“最优”准则，并确定两个不同的优化目标；然后，借助matlab采用双重for循环枚举遍历，搜索出II介质的最优厚度为21.7mm，IV层介质的最优厚度为6.4mm。关键词：Fourier定律热传导方程追赶法枚举法向后差分2一、问题重述在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。为设计专用服装，将体内温度控制在37ºC的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。为了降低研发成本、缩短研发周期，请你们利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题：(1)专用服装材料的某些参数值由附件1给出，对环境温度为75ºC、II层厚度为6mm、IV层厚度为5mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度（见附件2）。建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的Excel文件（文件名为problem1.xlsx）。(2)当环境温度为65ºC、IV层的厚度为5.5mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。(3)当环境温度为80时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。二、问题分析2.1问题一分析问题一，建立基于热传导方程的温度分布模型，确定在一维空间中介质在不同时刻，不同厚度下的温度。在模型建立时本文首先借助导热基本定律——傅里叶定律和能量守恒定律推导热传导方程。其次简化问题，将四个介质层视为两个新的介质层介质a、介质b，在只有a、b介质层的情况下，基于临界处温度与热流量密度相同进行二层耦合。最后，将二层耦合推广到四层耦合，建立基于热传导方程的的温度分布模型。模型的求解采用隐式向后有限差分近似对方程进行离散化处理，给出方程的差分格式并整理得到代数方程组，采用追赶法求解方程组，得到时间与空间维度下的温度分布情况。2.2问题二分析问题二，求解II层介质最优厚度是一个最优化问题，首先从服装成本与穿着舒适度两个方面讨论“最优”标准的制定，确定优化问题的目标为II层介质厚度最小。其次，考虑问题二关于假人皮肤外侧温度的两个要求，同时结合问题一建立的基于热传导方程的温度分布模型，确定最优化问题的约束条件，从而建立II层最优厚度的单目标优化模型。问题二模型的求解利用循环遍历的变步长枚举法，对II层介质的所有可能厚度进行遍历，求出满足约束条件的最小厚度。2.3问题三分析问题三，求解II，IV两层的最优厚度是一个多目标的优化问题。首先，从服装成本与穿着舒适度两个方面考虑，分别制定出不同方面下的“最优”厚度标准，确定多目标优化问题的两个不同的目标。3其次，基于问题一建立的基于热传导方程的温度分布模型，考虑问题三提出的两个要求，给出最优化问题的约束条件，分别建立目标是服装成本最低和穿着舒适度最高的两个II，IV层厚度优化模型。问题三模型的求解采用双重循环遍历的枚举法，借助matlab对II介质与IV介质厚度同时进行双重循环遍历，搜寻服装成本最低和穿着舒适度最高这两个目标下II，IV层介质的最优厚度。三、模型假设1．假设四层介质均匀，且保持各项同性。2．假设每层介质的热传导率在各个方向相同。3．假设在第四层介质中，不考虑空气对流。4．假设外界无辐射。四、符号说明与名词解释4.1符号说明符号说明iL第i层介质的厚度，i=1,2,3,4(,)iuxt第i层介质在t时刻厚度x下的温度，i=1,2,3,4(,)ijuxt第i层介质在第j时间层中t时刻下的厚度x时的温度，i=1,2,3,4q热流量密度ic第i层介质的比热，i=1,2,3,4i第i层介质的密度，i=1,2,3,4i第i层介质的热传导率，i=1,2,3,4Q单位时间通过截面的热量h空气与皮肤的转化系数i第i层与第i+1层介质的临界面，i=1,2,34.2名词解释（1）比热：是指没有相变化和化学变化时，一定量均相物质温度升高1K所需4的热量，单位为：oJkgC。（2）热传导率：是物性参数，在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内单位面积的热量，单位为：oWmC。它与物质的结构与状态密切相关，与几何形状无关。（3）冷却系数：是空气与皮肤的转化系数，空气自然对流下大致范围是[5,25]。五、模型建立与求解实际问题的数学化处理：在高温作业过程[1]中，实际为三维立体的空间温度扩散。由于不计空气对流，不考虑人的体积，因此忽略高度与宽度这两个维数，将服装的三层材料与空气层，简化为只与厚度L有关的一维空间，如图1下：图1一维简化图其中，I、II、III为服装的三层织物材料，IV为III层与皮肤间的空气层，且I层与外界环境接触。并分别将I、II、III、IV层记为四层介质。5.1问题一：确定温度分布情况针对问题一，需要建立数学模型，计算温度分布。由一维简化图可知：只需要确定在一维空间中介质在不同时刻，不同厚度下的温度。首先，借助导热基本定律——Fourier定律和能量守恒定律推导热传导方程。其次，简化问题，将I、II、III、IV四个介质层视为两个新的介质层介质a、介质b，在只有a、b介质层的情况下，进行二层耦合。最后，将二层耦合推广到四层耦合，建立基于热传导方程的温度分布模型。模型的求解采用隐式向后有限差分近似对方程进行离散化处理，给出方程的差分格式并整理得到代数方程组，采用追赶法求解方程组，得到时间与空间维度下的温度分布情况5.1.1两大定律——Fourier定律和牛顿冷却定律在求解温度分布过程中，由于热量随时间进行扩散，因此本文考虑导热现象和冷却现象。（1）Fourier定律①热量与热流密度5在导热现象中，单位时间内通过截面面积为S的截面所传递的热量Q，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，但热量传递的方向与温度升高的方向相反，如下图2所示：图2Fourier定律示意图傅里叶定律表达式为：=QuuQSSxx−(1)用热流密度表示为：uqx=−(2)其中：负号表示热量传递的方向与温度升高的方向相反；x表示从外界到皮肤的厚度，为空间坐标；u=u(x,t)表示关于厚度x和时间t的函数；ux表示温度沿x轴方向的变化率；表示热传导率，均匀介质中为一固定数值。②一维空间中热流密度矢量本文考虑在一维空间下温度分布，即只有一个坐标x（表示厚度），具体见下图3：图3单介质示意图则热流密度矢量的形式为：6uqgradunn=−=−(3)其中：gradu是一维空间某厚度下的温度梯度；n是在临界面的外法向向量。（2）牛顿冷却定律牛顿冷却定律是温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律[4]。具体的表述为：当物体表面与周围存在温差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比，比例系数为热传导率。计算公式为：(37)uhun−=−空。5.1.2热传导方程的推导（1）基于Fourier热传导定律的热量的微元算式在上述Fourier定律推导过程[3]中，得到热量的微元算式如下：udQdsdtudSdtn=−=−(4)（2）流入热量与吸收热量从12tt时间段内，流入介质内部的热量为：211=ttSuQdsdtn(5)并将（5）式借助高斯公式化简为：22111==tttStuuQdsdtdxdtnx(6)介质内温度升高吸收的热量为：221=[(,)(,)]Qcuxtuxtdx−(7)其中，c为比热，为密度。并将（6）式化简为：72121221=[(,)(,)](,)=(,)=ttttQcuxtuxtdxuxtcdtdxtuxtcdxdtt−(8)（3）基于能量守恒定律建立能量关系由能量守恒定律，有12QQ=，即：2211(,)=ttttuuxtdxdtcdxdtxt(9)因此，有22uuctx=，即222=uuatx，且2=ac。其中，表示为介质的热传导率；c表示为介质的比热，表示为介质的密度。最终推导的热传导方程为：222=uuatx，2=ac5.1.3二层耦合介质温度分布模型的建立首先，在只有介质层a、b的情况下，建立二层耦合的温度分布模型。先确定在不同介质中的热传导方程，再根据在同一临界面具有相同的热流量密度和温度进行二层耦合。其次，将二层耦合扩展为四层耦合，确定完整的温度分布模型。详细图解如下图4：图4两层耦合图Step1：确定介质a、介质b的热传导方程。8由5.1.2的热传导方程推导过程可知：2=ac，则带入相应的热传导率，比热c，密度，分别确定介质a、b的热传导方程，见表1。表1介质a、介质b的热传导方程热传导方程方程参数空间范围介质a221112uuatx=21111=ac10,xd介质b222222uuatx=22222=ac12,xddStep2：确定耦合条件。①由介质临界面的热流量密度相同，确定第一耦合条件。根据Fourier热传导定律，在导热过程中，两相邻介质临界面处热流量密度相同，得到：11121212dduunn=(10)其中，1n,2n分别表示介质a、介质b在临界面上的外法线方向；1，2分别表示介质a、介质b上的热传导率。②由介质临界面的温度相同，确定第二耦合条件。根据两介质临界面处温度相同，得到任意时刻的临界面处温度等价关系：1112dduu=(11)③完整耦合条件的确立。由（9）式和（10）式可得，两层耦合状态下的耦合条件为：121112121212dddduunnuu==(12)Step3：确定两层耦合介质的初边值条件。①确定初值条件。9在t=0时刻，介质a、介质b的温度均与假人的恒定皮肤外侧温度相同，即均为37oC，由此确定初值条件为：11212(,0)37[0,](,0)37[,]uxxduxxdd==(13)②确定边值条件。第一，左边界条件的确定。介质a左侧与外界接触，因而其温度与恒定的外界温度相同，故方程的左边界Dirichlet边值条件为：1(0,)75[0,]uttT=(14)第二，右边界条件的确定。介质a接受了温度为75oC的外界传递