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九年级三班数学第三单元《对圆的进一步认识》第三章对圆的进一步认识单元备课一、地位和作用本章内容是在研究了直线形、图形的轴对称、平移、旋转和相似等变化以及七下“圆的初步认识”的基础上展开的，是对圆的有关性质、直线与圆有关的位置关系的系统研究。二、教材说明1、本章内容概述本章内容主要包括圆的对称性、确定圆的条件、圆周角定理、直线和圆的位置关系、三角形的内切圆、弧长及扇形面积的计算、正多边形与圆等。2、教材设计注意呈现图形与几何部分内容的联系3、注意体现几何研究的基本思路和方法4、围绕推理能力的培养设计和编排教材5、重视文化传承，关注人文教育三、教学目标1、探索圆的轴对称和中心对称性质，探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条；探索圆心角、弧、弦三者之间的关系。2、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。知道三角形的外心和外接圆。3、理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题；经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题；巩固圆周角概念及圆周角定理；掌握推论3直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径，并能运用它解决问题.4、了解圆内接多边形的概念。证明圆内接三角形的性质：圆内接四边形的对角互补。5、了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念。6、探索并掌握切线的判定定理和性质定理。7、探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。8、知道三角形的内心和内接圆。9、会计算圆的弧长、扇形的面积。10、了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。11、会利用基本作图完成以下作图：过不在同一直线上的三点做圆；做三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。四、重点、难点和关键1、教学重点圆的基本性质：垂径定理和圆心角、弦、弧的关系定理，圆周角定理及其推论，直线和圆的位置关系2、教学难点圆内有关元素（弧、弦、圆心角、圆周角）的相互关系；圆周角定理的证明；切线的性质定理的证明（涉及反证法）；三角形的外心、内心的性质的运用。3、突破难点的关键注意本章内容与学生已学知识的衔接；注意基本数学思想（如转化、分类、归纳、演绎等）的体现和运用；注意揭示概念和结论的数学本质；注意本章各部分知识之间的联系。五、课时安排3.1圆的对称性2课时3.2确定圆的条件2课时3.3圆周角3课时3.4直线与圆的位置关系3课时3.5三角形的内切圆1课时3.6弧长及扇形面积的计算1课时3.7正多边形与圆2课时六、教学建议1、注意本章各部分知识之间的关联2、注意本章内容与学生已学知识间的衔接3、组织好学生的探索活动4、密切联系实际，积极开发课程资源。5、注重数学思想的渗透和感悟七、评价建议1、把握基础知识与基本技能的具体目标2、注重数学思考和问题解决的评3、关注情感态度的评价。3.1《圆的对称性（1）》教案教学目标：知识与技能：（1）理解圆的对称性及其相关性质；（2）能正确运用垂径定理解决相关问题。过程与方法：（1）经历观察、操作、想象、交流等活动，进一步发展空间观念和有条理表达的能力，培养学生发现问题、提出问题的能力；21教育网（2）经历探索垂径定理的过程，体会转化等数学思想方法。情感态度与价值观：（1）在画图和探索的过程中，培养学生的问题意识和严谨科学的态度；（2）在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯，质疑的精神。教学重点：经历探索发现“垂径定理”的过程，发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。教学难点：从实践生活中抽象出圆，然后把“垂径定理”运用到生活中。教学过程：一、情境导入课件出示一组生活中的带有圆的图片。二、经典再现学生回答下面的问题：1、你能回想起哪些有关圆的知识？2、简单叙述勾股定理？三、探索新知思考下面的问题，并与同学交流：（1）在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心Ｏ，再任意作出一条直径ＡＢ，将⊙Ｏ沿直径ＡＢ折叠，你发现了什么？（２）再任意作一条直径，重复（１）中的操作，还有同样的结论吗？小结：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。（3）如图所示，CD是☉O的弦,AB是与CD垂直的直径，垂足为点E.将☉O沿直径AB折叠，观察线段CE与DE有什么关系？AC⌒与AD⌒的有什么关系？BC⌒与BD⌒的有什么关系？为什么?21cnjy.com鼓励学生进行思考，然后进行证明。师生进行总结：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。四、例题讲解例1如图，以△OAB的顶点O为圆心的☉O交AB于点C，D，且AC=BD.求证：OA=OB.证明：作OE⊥AB，垂足为点E（如图）.由垂径定理，得CE=DE.∴AC+CE=BD+DE,即AE=BE.∴OE为线段AB的垂直平分线.∴OA=OB.小试牛刀：1、如图，AB是⊙Ｏ的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，求证：∠ACD=∠ADC.例21400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.02m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.23m.求桥拱所在圆的半径（精确到0.1m）.解：如图，设拱桥的半径为R米，∵OC⊥AB,∴AD=BD,CD为拱高，由题意可得，2222221137.0218.51,227.23.RODAOA=AD+ODR=18.51+R7.23.RABODOCCDRAD=在t中，由勾股定理，得，即（）解这个方程，得27.3.所以，赵州石拱桥桥拱所在圆的半径约为27.3m.巩固练习：如图，⊙Ｏ是水平放置的输油管道的横截面，其直径为650mm，油面的宽度AB=600mm.求油的最大深度.挑战自我如图，P为⊙Ｏ内一点，试用直尺和圆规作⊙Ｏ的一条弦AB，使点P恰为AB的中点.说明你的理由。小结：本节课我们探索圆的性质，我们都做了怎样的探索呢？得出了怎样的结论呢？请大家说一说。引导学生从知识、探索过程、思想方法三个维度有条理的总结收获。（从知识上来说，同学们都会总结的很好。通常我们进行知识梳理的时候，还需要从探索过程和思想方法上进行总结。从探索过程来说，通过画图，我们经历了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，我们发现的这些问题更有价值；从思想方法来说，我们把几何问题转化成代数问题，运用了数形结合的思想。）21·cn·jy·com板书设计：§3.1圆的对称性圆是轴对称图形对称轴每一条直径所在的直线AB是直径AB⊥CDCE=DEAC⌒=AD⌒BC⌒=BD⌒垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。教学反思3.1圆的对称性（2）教学目标：1.探索圆的旋转不变性和中心对称性。2.了解圆心角、弧、弦之间的关系定理，能应用定理解决有关问题。3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法，积累活动经验，培养推理能力。重难点：重点：圆心角及所对弧、弦之间的关系定理及其应用。难点：探索圆心角及所对弧弦之间的关系。教学过程：（一）你知道吗?圆是轴对称图形，是它的对称轴。它有条对称轴。（二）合作探究一任意画一个圆，思考并回答下面问题：（1）以圆心O为旋转中心，将这个圆旋转任意一个角度，你有什么发现？为什么？如果将⊙O圆O绕圆心旋转180⁰，直径AB的两个端点的位置会发生什么变化？（2）圆是中心对称图形吗？如果是，哪个点是它的对称中心？（3）叫做圆心角。图3中的圆心角是。图3图2图1OAOABBCDE归纳：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合。这是圆另一个基本特征：圆的旋转不变性。圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心21世纪教育网版权所有圆心角：顶点在圆心的角(如∠AOB).（三）合作探究二师生共同活动（几何画板演示，学生实验操作）（1）任意画一个⊙O，在⊙O内画圆心角∠AOB=∠A′OB′。连接AB,A′B′。（2）以点O为旋转中心，将圆心角∠AOB连同AB按逆时针方向旋转，旋转角为∠AOA′，则半径OA与OA′重合。这时点B旋转到哪里？OB与OB′重合吗？为什么？（3）这时AB与A′B′重合吗？弦AB与弦A′B′重合吗？由此你能得到什么结论？师生共同活动（几何画板演示，学生实验操作）学生试验、操作、观察、思考、交流、推理探索活动，引导学生发现（四）归纳新知根据等角的定义可得OB与OB′重合。圆经过旋转与自身重合，同圆上的两条弧当两个端点分别重合可得弧一定重合。利用旋转的基本性质可得弦AB与A′B′重合。⌒在同圆中，如果两个两个圆心角相等，那么他们所对的弧相等，所对的弦相等。你能说出这个结论的逆命题吗？利用旋转的基本性质还可以得出：⌒⌒在同圆中，如果AB=A′B′,那么∠AOB=∠A′OB′，弦AB=A′B′;⌒⌒21教育网反之，如果弦AB=A′B′，那么∠AOB=∠A′OB′，AB=A′B′。上面的结论在两个等圆中也成立。21cnjy.com定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量也相等。21·cn·jy·com几何符号语言：小试身手P72T1（五）运用新知例3如图，AB与DE是⊙O的两条直径，C是⊙O上的一点，AC∥DE。求证：（1）AD=CE（2）BE=CE师分析：要证明同一个圆中的弧相等，可转化证明两条弧所对的圆心角相等，或两条弧所对的弦相等。学生独立思考完成，说出思路，师多媒体展示解题过程。（六）巩固新知课本72页练习2、3题（七）小结与反思1.基础知识：2.基本技能：3.基本活动经验：4.基本数学思想：（八）挑战自我在⊙O中，AB=2CD，试判断AB与2CD的大小关系，并说明理由。ODABC（九）布置作业习题3.1必做题：3题选作题：8题、10题教学反思⌒⌒⌒⌒3.2确定圆的条件〖学习目标〗1.知识与技能：①理解不在同一直线上的三个点确定一个圆；②掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法；③了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，提高应用数学知识解决实际问题的能力。2.过程与方法：经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,体会归纳、类比以及由特殊到一般的数学思想方法。3.情感态度与价值观：在探索活动中培养学生勇于探究的学习品质，体会解决问题的策略，学会数学地思考。〖学习过程〗（一）创设情境激发兴趣问题1：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？问题2：玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？为什么？问题3：如果店里师傅仅仅知道圆的半径，他可以画出多少个这样的圆？为什么？（二）操作探究归纳结论活动一：过定点A是否可以作圆？如果能作？可以作几个？活动二：过两个定点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？活动三：过三点，是否可以作圆，如果能，可以作几个？(分两种情况讨论)归纳结论:_______________________________________________________________（三）例题示范已知：△ABC，求作⊙O，使它经过A、B、C三点。（四）知识拓展经过4个(或4个以上的)点是不是一定能作圆?（五）合作交流形成概念：三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形。自主探索：三角形的外心与三角形的位置关系。（六）学以致用发展能力1．直角三角形的两条直角边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆的半径等于.2．①破镜重圆:利用所学知识,帮助玻璃店里的师傅找出残缺圆片所在的圆心,并把这个圆画完整.②实际操作:小明发现,店里师傅先在圆弧上顺次取三点A、B、C.(如图),使AB=BC.并测量得:AB=BC=5dm,AC=8dm,然后师傅计算了下，就很快划出与原来一样大小的圆形玻璃,你知道他计算的是什么？（七）回顾反思交流收获本节课你学到了什么？（八）达标检测1．判断题：（1）三点确定一个圆（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交