卡方分布及其它分布

1卡方分布一、卡方分布的定义：若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-squaredistribution），其中参数n称为自由度。二、卡方分布的性质：:（1）(可加性)设iY~且相互独立，则,,,1,,2kiiin,~2,1nkYY这里.,iinn（2）,)(2,nEn.42)(2,nVarn证明（1）根据定义易得。（2）设则依定义，,~2,nY可表示为Y,22121nnXXXY其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~NXniNXni)2(.)()()1(,)()(1212niiniiXVarYVarXEYE因为,1,1)()()(22iiiXEXVarXE.,1,,1nini代入（1），第一条结论可得证。直接计算可得.36,1,,1,3244niEXniEX于是,1,,1,213)()(2242niEXEXXVariii.42)()(2242nnnEXEXXVar2代入（2）便证明了第二条结论。三、卡方分布的概率密度函数：，其他当00,22121222xexnxfxnnx数）。现在来推导随机变，（相互独立且都服从设随机变量10n,....1NXX的分布。2^.....2^2^1n2^x2^x21^2n^n21n1n1的密度函数为，xxxdDXPPozzXPPn2^2^21-2n2n2122n2121en21zzz0z0z时，当时，当其中Dx为n维x空间内由不等式zxxn221所定的区域。即，Dz为n维x空间内以坐标原点为球心、z为半径的球面所围成的区域（边界不在内）可以利用极坐标来计算这积分。令11112121211cossin2cossinsincossinsinsinnnnnnnnrxrxrxrx与这变换相应的函数行列式为：31-n111,,,,,rrrrrrrrxxnn其中括号和都表示1,,1n的函数。因此。当z0时，CPzz0drr-1-n2n22r21zC是常数。为了定出C,在上述等式的两端令,r得到Cdrrzrnn0122211从而，02122drrCznn在分母内的积分中令221r，即，用212r作代换，那么，这个积分等于222212212012122121021-nnddnnnnn因此，222122nCnn从而，当z0时，xznndnzxP021122221znndn021212221即，2的密度函数为4，其他当00,22121222zeznxfznnz称这个密度函数所定的分布为自由度为n的2分布，记作2）（n。它的图像如下：图（一）2分布密度函数图四、卡方分布的累积分布函数为：dxxfxFxk2dxexnxnn0212222122,2kxkxFk，其中γ(k,z)为不完全Gamma函数。其图像如下：5图（二）2分布的分布函数图五、卡方分布的特征函数及其推导：特征函数：ψ(t)=f(x)dx=dx=六、论证过程中的心得体会：首先通过对卡方的研究和证明，提高了我们对数学的兴趣。其次，通过这次的推导和搜索资料进行分析，大大提高了我们的独立思考的能力，我们当中很多同学之前都很害怕类似的证明题，这一次的合力解决难题使我们信心倍增。当然同时，这个合作锻炼了我们团队合作的能力，分工合作解决问题，有的人负责收集资料，有点人负责推导公式，有的人负责输入文章，整理公式，等等。这让大家明白了团结的力量。做出合理的时间安排，做任何事情，合理的时间安排非常重要，多元课程设计也是一样，事先要做好一个规划，课程设计一共分5个板块（定义，性质，特征函数，密度函数，分布函数，心得体会）。你每天要做完哪几个板块事先要确定好，这样做才会使自己游刃有余，保证在2周时间内内完成论文，以避免由于时间上的不妥，以致于最后无法完成论文。另外，写论文的过程中也使我们对论文的格式有了一个了解，更规范更具体，为以后的学业报告做了一次很好的准备。论文属于科学性的文章，它有严格6的书写格式规范，因此一篇好的论文一定要有正确的格式，论文格式错误就不能得到好成绩，因此我们写论文时要端正态度，注意书写格式。多元课程的设计更加是丰富了我们的业余生活，让大家聚在一起讨论题目，其乐融融。这样的课程设计也能使我们找到志同道合的朋友，发现生活中的点滴数学趣事，从实际出发思考题目，同时我们对计算机的知识也有了一定的加深，matlab的使用等等。t分布的有关知识t分布的概述及其历史在概率论和统计学中，学生t-分布（Student'st-distribution）应用在当对呈正态分布的母群体的均值进行估计。它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t测定的基础。t检定改进了Z检定，不论样本数量大或小皆可应用。在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t检定。当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。学生t-分布可简称为t分布。其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。之后t检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换t=xsux，统计量t值的分布称为t分布。t分布的分布函数及证明用);(nxT表示nt分布的分布函数，则700)21,21(121)21,21(21);()2/(22)/(xxnInInxTxnxxnn证明根据分布函数的定义有dynynBdynytnxTnxx2/)1(2)1()21,21(1);();(当0x时，上式为212/)1(202/)1(20)1()21,21(1)1()21,21(1);(AAdynynBdynynBnxTnxn由于1);(dynyt，故立即可得2/11A，为了计算2A，我们做变换)/(22ynyt则dtttdtnyyndy232122)1(2)2/()(，因此dttttnBdynynBAnxnxnx23212102/)1(202)1(2)1()21,21(1)1()21,21(122)21,21(21)/(22nIxnx故)21,21(2121);()/(2122nIAAnxTxnX)21,21(121)/(22nIxnx而当0x时，我们有xxxdynytdynytdynytnxT00);(21);(21);(1);(然后利用刚刚的讨论可知)21,21(21)21,21(2121);()/()/(222nInInxTxnnxnx综上所述便得我们所要的结论。t分布的密度函数及证明设z,为相互独立随机变量，服从正态zN),1,0(服从自由度为n的2—分布，则8t=nz的密度函数为212//)1()2()21()()(nnztnxnnnxfxf称)(xft是自由度为n的t—分布（或Student分布）的密度函数，证：首先，易知与nz相互独立，事实上，.0),()(0)(0)(.0),()(}{}{}{}{},{},{),(,22,时当时当yxFxFxFxFyynzFxFynzPxPnyzPxPnyzxPynzxPyxFnznznz故得证.是相互独立的与nz（其实，由商的密度函数为9.)1()2()21()()2()21(2)()2()(,2,21)2()2(2)(.)()()(212212202122222222022222222222121nnnunnnnznxnxxnznxnnnxnnnndueuxnnnxfxnxudxexennxfdxxxfxxfxf则上式变为令故证明过程用到公式).0(2)(212010dyeydxexyxt分布的w特征函为：dxtxwalnnxnnnt),()21(^)2^1()2()21()(t分布有如下特征：1、t分布是对称分布，且其均值为02．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线，如图1。3、t分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为0。4、与标准正态分布相比，t分布的中心部分较低，2个尾部较高。105、变量t的取值范围在到之间图1自由度为1、5、∞的t分布t分布有如下性质：性质1令2/)1(2)1()(nnxxg则xnxnnxgn2/)3(2)1(1)()31()1(1)(222/)5(2xnnnxnxnnxgn故0)(xg的解为)2/(nnx，即分布密度在)2/(nnx处有拐点。性质222121);(limxnenxt性质3设ntX~，若nr，则)(rXE存在；若nr，则)(rXE不存在。此点由微积分中判别积分收敛的法则很容易看出。若nr，且r为奇数，由于函数2/)1(2)/1(nrnxx是x的奇函数，因此，0r；若nr且r为偶数，可以算得)()4)(2()1(5312/rnnnrnrrr特别11,4,3,2)(,0)(nnnXVarXE,6,5,46,021nnrr性质4nt分布由于只有1n阶矩存在，故没有矩母函数存在。性质5如1X和2X独立同分布于n2，则随机变量ntXXXXY~/)(212112。t分布的分位数t分布的分位数记作nt.如图所示，当X~nt时，ntXP=.给出概率和自由度n,可从t分布的分为表中查出nt.与标准正态分布相类似,根据t分布密度曲线的对称性,也有ntnt1,论述同1uu.如果在t分布的分为表中没有负的分位,则先查出nt1,然后得到ntnt1.例如,132.24,776.24,604.44,604.44,776.24,132.24025.0025.0005.0995.0975.095.0tttttt另外,当30n时,在比较简略的表中查不到