习题精选精讲集合元素的“三性”及其应用集合的特征是学好集合的基础,是解集合题的关键,它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性,这些性质为我们提供了解题的依据,特别是元素的互异性,稍有不慎,就易出错.下面就集合元素的这三个性质及应用加以说明.一、注意正确理解其意义1.确定性:即对任意给定的对象,相对于某个集合来说,要么属于这个集合,要么不属于这个集合,二者必居其一,关键是理解“确定”的含义.2.互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的(或说是互异的),即同一个集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入任一个集合时,只能作为这个集合的一个元素.3.无序性:由于集合中元素是确定且是互异的,元素完全相同的集合是相等的集合,因此,集合中的元素与顺序无关.二、注意正确利用“三性”解题例1下列命题正确的有哪几个?⑴很小的实数可以构成集合;⑵集合{1,5}与集合{5,1}是不同的集合;⑶集合{(1,5)}与集合{(5,1)}是同一个集合;⑷由1,23,46,∣-21∣,0.5这些数组成的集合有5个元素.分析:这类题目主要考查对集合概念的理解,解决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序性为标准作出判断.解:⑴“很小”是一个模糊概念,没有明确的标准,故我们很难确定某一个对象是否在其中,不符合集合元素的确定性,因此,“很小的实数”不能构成集合,故⑴错.⑵{1,5}是由两个数1,5组成的集合,根据集合元素的无序性,它与{5,1}是同一个集合,故⑵错.⑶{(1,5)}是由一个点(1,5)组成的单元素集合,由于(1,5)与(5,1)表示两个不同的点,所以{(1,5)}和{(5,1)}是不同的两个集合,故⑶错.⑷23=46,∣-21∣=0.5,因此,由1,23,46,∣-21∣,0.5这些数组成的集合为{1,23,0.5},共有3个元素.因此,⑷也错.例2已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,aq,a2q},其中a0,A=B,求q的值.分析:本题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同,列出相应的关系式,然后求出q的值,这显然违背了集合的无序性.解:∵A=B,及集合元素的无序性,∴有以下两种情形:①22aqbaaqba消去b,解得q=1,此时a=aq=a2q,与集合中元素的互异性矛盾,∴q1.②aqbaaqba22消去b,解得q=-21,或q=1(舍去),故q的值为-21.评注:本题中,利用集合元素的无序性和两集合相等时的元素特征,得出两个方程组,打开了解题的大门,求出q值后,又利用了集合元素的互异性进行检验,保证了所求的结果的准确性.例3设A={x∣2x+(b+2)x+b+1=0,bR},求A中所有元素之和.错解:由2x+(b+2)x+b+1=0得(x+1)(x+b+1)=0(1)当b=0时,x1=x2-1,此时A中的元素之和为-2.(2)当b0时,x1+x2=-b-2.分析上述解法错在(1)上,当b=0时,方程有二重根-1,集合A={-1},故元素之和为-1,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.因此,在列举法表示集合时,要特别注意元素的“互异性”.习题精选精讲例4已知集合A{2,3,2a+4a+2},B={0,7,2a+4a-2,2-a},且AB={3,7},求a值.分析:∵AB={3,7}∴2a+4a+2=7.即a=1,或a=-5.至此不少学生认为大功告成,事实上,这只求出了集合A,集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步检查.当a=-5时,2-a=7,在B中重复出现,这与元素的互异性相矛盾,故应舍去a=-5.当a=1时,B={0,7,3,1}且AB={3,7}∴a=1评注:集合元素的确定性,互异性,无序性在解题中有重要的指导作用,忽视这一点差之毫厘则失之千里.集合与函数、导数部分易错题分析1.进行集合的交、并、补运算时,不要忘了全集和空集的特殊情况,不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.你会用补集的思想解决有关问题吗?3.求不等式(方程)的解集,或求定义域(值域)时,你按要求写成集合的形式了吗?[问题]:1|2xyx、1|2xyy、1|),(2xyyx的区别是什么?4.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?5.解一元一次不等式(组)的基本步骤是什么?[问题]:如何解不等式:0122bxa?6.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗?7.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?[问题]:请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.什么是映射、什么是一一映射?[问题]:已知:A={1,2,3},B={1,2,3},那么可以作个A到B上的映射,那么可以作个A到B上的一一映射.9.函数的表示方法有哪一些?如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性?单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应?什么样的函数有反函数?如何求反函数?互为反函数的图象间有什么关系?求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,你注明函数的定义域了吗?[问题]:已知函数,9,1,2log3xxxf求函数22xfxfy的单调递增区间.(你处理函数问题是是否将定义域放在首位)[问题]:已知函数的函数xgyxxxf,132图象与11xfy的图象关于直线的值对称,求11gxy.10、如何正确表示分数指数幂?指数、对数的运算性质是什么?11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗?[问题]:已知函数,3logxxxfa在上,恒有1xf,则实数的a取值范围是:。12.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?(定义法、导数法)13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?[问题]:写出函数)0()(mxmxxf的图象及单调区间.],[dcx时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么?[问题]:证明“函数)(xf的图象关于直线ax对称”与证明“函数)(xf与函数)(xg的图象关于直线ax对称”有什么不同吗?例题讲解1、忽略的存在:例题1、已知A={x|121mxm},B={x|25x},若AB,求实数m的取值范围.【错解】AB51212mm,解得:33m-【分析】忽略A=的情况.习题精选精讲【正解】(1)A≠时,AB51212mm,解得:33m-;(2)A=时,121mm,得2m.综上所述,m的取值范围是(,3]2、分不清四种集合:()xyfx、()yyfx、,)()xyyfx(、()()xgxfx的区别.例题2、已知函数xfy,bax,,那么集合2,,,,xyxbaxxfyyx中元素的个数为…………………………………………………………………………()(A)1(B)0(C)1或0(D)1或2【错解】:不知题意,无从下手,蒙出答案D.【分析】:集合的代表元,决定集合的意义,这是集合语言的特征.事实上,()xyfx、()yyfx、,)()xyyfx(、()()xgxfx分别表示函数)(xfy定义域,值域,图象上的点的坐标,和不等式()()gxfx的解集.【正解】:本题中集合的含义是两个图象的交点的个数.从函数值的唯一性可知,两个集合的交中至多有一个交点.即本题选C.3、搞不清楚是否能取得边界值:例题3、A={x|x-2或x10},B={x|x1-m或x1+m}且BA,求m的范围.【错解】因为BA,所以:129110mmm.【分析】两个不等式中是否有等号,常常搞不清楚.【正解】因为BA,所以:129110mmm.4、不理解有关逻辑语言:例题4、“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题,则以下四个命题:⑴M的元素都不是P的元素;⑵M中有不属于P元素;⑶M中有P的元素;⑷M的元素不都是P的元素,其中真命题的个数有……………………………………………………………()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【错解】常见错误是认为第(4)个命题不对.【分析】实际上,由“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题知非空集合M不是集合P的子集,故“M的元素不都是P的元素”(M的元素有的是、有的不是集合P的元素,或M的元素都不是P的元素)是正确的.【正解】正确答案是B(2、4两个命题正确).5、解集错误地写成不等式或不注意用字母表示的两个数的大小:例题5、若a0,则关于x的不等式05422aaxx的解集是.【错解】x-a或x5a【分析】把解集写成了不等式的形式;没搞清5a和-a的大小.【正解】{x|x5a或x-a}6、不能严谨地掌握充要条件的概念:例题6、题甲“a,b,c成等比数列”,命题乙“acb”,那么甲是乙的………………()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又非必要条件【错解】选C【分析】若a,b,c成等比数列,则bac;若acb,则有可能0,0bac或.【正解】正确答案为:D7、考虑充要条件时,忽略了前提条件:例题7、△ABC中,“A=B”是“sinA=sinB”的…………………………………()条件习题精选精讲(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)非充分非必要【错解】错选A【分析】实际上,由“A=B”能推出“sinA=sinB”;在△ABC中,由正弦定理2sin,2sinaRAbRB及“sinA=sinB”,可知ab,从而有“A=B”成立.【正解】正确答案为C.8、不能正确地理解有关概念,导致推理错误:例题8、已知直线m、n和平面、,其中m、n,则∥的一个充分不必要条件是:……………………………………………………………………………………()(A)⊥,⊥(B)m∥,n∥(C)∥,∥(D)内不共线的三点到的距离相等【错解】错选A.【分析】注意:寻找的是一个充分不必要条件.学生往往错误地认为:∥某条件,且某条件不能推出∥.而实际上,应该是:某条件∥,且∥不能推出某条件.【正解】正确答案为C.9、逻辑推理混乱:例题9、使不等式0)1|)(|1(xx成立的充分而不必要的条件是…………………()(A)}11|{xxx或(B)}11|{xx(C)}11|{xxx且(D)}11|{xxx且【错解】搞不清所要求的条件和不等式0)1|)(|1(xx的关系.【分析】所要求的“某条件”满足:(1)“某条件”不等式0)1|)(|1(xx成立;(2)“某条件”不等式0)1|)(|1(xx成立;【正解】正确答案为:B10、不会用“等价命题”推理:例题10、设命题p:|4x-3|≤1,命题q:2(21)(1)0xaxaa,若p是q的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是.【错解】常见错误解答是:10,2.【分析】解答此题比较好的思路是:由p是q的必要而不充分条件得知p是q的充分而不必要条件,然后再解两个不等式,求a的取值范围.【正解】正确答案是10,2.11、不注意数形结合,导致解题错误.例题11、曲线241xy与直线4)2(xky有两个不同交点的充要条件是习题精选精讲【错解】误将半圆241xy认为是圆.【分析】利用“数形结合”易于找到正确的解题思路.【正解】可得正确答案为:53124k透过伪装抓本质—集合思想及集合语言在解题中的应用集合是高中数学的基础,也是高考常考的内