第一章(单自由度系统的振动)

判断对错：1.已知系统模型和外载荷,求系统的响应是动力学的第一类逆问题;2.已知输入和输出求系统特性是动力学的第二类逆问题;3.已知系统特性和响应求载荷是动力学正问题;4.物理参数识别、模态参数识别均属于第一类逆问题.╳╳╳√上次课内容回顾单自由度系统的振动第一章振动系统的组成单自由度系统的振动方程二阶常系数线性微分方程的解第一讲：引言第一章：单自由度系统的振动为什么要研究单自由度系统的振动2.在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度系统的振动理论就可以得到满意的结果。3.单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。?引言1.单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。ekmxtkkmxmxyx返回引言振动系统的组成简化mkc机床弹性衬垫基础图将实际系统抽象为单自由度振动系统混凝土振动系统惯性元件m阻尼元件c弹性元件kmkc振动系统的组成1.弹性元件xFxFo线性范围()fx()Ffxx当较小时Fkx弹簧的刚度系数，单位：N/m弹性元件的意义和性质振动系统的组成弹簧的刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需施加的力对弹性元件需要说明几点：通常假定弹簧是无质量的；假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；振动系统的组成弹簧的等效刚度系数121212()()fffkkuu2212()fkuu1112()fkuu12ekkk1k2kff2u1uABffek2u1uAB12()efkuu振动系统的组成1121/uufk121211fkk12111ekkkff1k2k2u1u3uABCffek1u3uAC2232/uufk1efk振动系统的组成弹簧串连后，其等效刚度系数变大还是变小了？上述公式可否推广？2.惯性元件1.惯性元件的意义和性质()xtmFm()mFmxt振动系统的组成3阻尼元件1.阻尼元件的意义和性质()xtdFcdFcxNs/m阻尼系数：使阻尼器产生单位速度所需施加的力，单位：振动系统的组成例1：判断下列系统中，哪些弹簧是串联的，哪些弹簧是并联的。(c)m1k2k(b)J1k2k(a)1k2km振动系统的组成(e)J1k2k(f)m1k2k3k4k(d)m1k2k返回振动系统的组成单自由度系统的振动方程s()skucumgm()ft()ftoumukcmutkutcutmgfts()[()]()()mgksmutcutkutft()()()()（单自由度系统振动方程的一般形式）结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程时就可以不考虑系统重力的作用。kcm返回二阶常系数线性微分方程的解（复习）()()()0utautbut二阶常系数齐次微分方程：,ab为任意常数。(1)12()()utut,定理1（解的线性叠加定理）：若是齐次方程(1)的解，则它们的任意线性组合1122()()()utCutCut也是方程(1)的解。12,CC为任意常数。1.齐次微分方程通解的结构1122()()()utCutCut是齐次方程的通解么?问题：定理2（通解的结构定理）：若是齐次方程(1)的两个线性无关的特解，则是齐次方程(1)的通解.1122()()()utCutCut12,CC为任意常数。12(),()utut问题1：线性无关是什么意思？问题2：特解是什么意思？不含任意常数的确定的微分方程的解1122()()0CutCut只有120CC时，才能使成立。二阶常系数线性微分方程的解（复习）2.非齐次微分方程通解的结构()()()()utautbutft二阶常系数非齐次微分方程：,ab为任意常数。(2)定理3：若是非齐次方程(2)的特解,为对应齐次方程的通解,则*()()()ututut是非齐次方程(2)的通解。*()ut()ut非齐次通解齐次通解非齐次特解=＋二阶常系数线性微分方程的解（复习）3.齐次微分方程通解的求法—特征根法()()()0utautbut()stute2()0stsasbe特征根通解形式不相等实根相等实根共轭复根s12ss12ss1,2si1212()ststutCeCe112()()stuteCCt12()(cossin)tuteCtCt2()0sasb12,ss二阶常系数线性微分方程的解（复习）4.非齐次微分方程特解的求法—待定系数法()cosftt()sinftt()()()()utautbutft二阶常系数非齐次微分方程：其中：或*12()(cossin)kuttCtCt为待定常数。12,CC特解的形式：①当不是特征方程的根时，②当是特征方程的单根时，i0ki1k二阶常系数线性微分方程的解（复习）求下列齐次方程的通解求下列非齐次方程的特解()2()3()0ututut()()()0ututut()4()3sin2ututt312()ttutCeCe答案：121233()cossin22tuteCtCt答案：*3()cos24uttt答案：课堂练习STOP二阶常系数线性微分方程的解（复习）上次课内容回顾()()()0utautbut特征根通解形式不相等实根相等实根共轭复根s12ss12ss1,2si1212()ststutCeCe112()()stuteCCt12()(cossin)tuteCtCt1.对于齐次方程：请根据特征方程的特征根写出齐次方程的通解。*12()(cossin)kuttCtCt()cosftt()sinftt()()()()utautbutft其中：或特解的形式为：①当是特征方程的单根时，i1k2.对于非齐次方程：k的取值为：当不是特征方程的根时，i0k②上次课内容回顾非齐次通解齐次通解非齐次特解=＋()()()()utautbutft3.对于非齐次方程：的通解的结构可表示为：ek4.两个弹簧相串联，其等效刚度可表示为：12/()kkkk12+ek5.两个弹簧相并联，其等效刚度可表示为：12kk上次课内容回顾求下列非齐次方程的特解（上次课习题）()4()3sin2ututt()sin2utCt4sin24sin23sin2CtCtt(44)sin23sin2CCtt443CC不能求出C上次课内容回顾()8()3sin2ututt()sin2utCt4sin28sin23sin2CtCtt4sin23sin2Ctt34C3()sin24utt()8()3cos2ututt()cos2utCt上次课内容回顾求下列非齐次方程的特解（上次课习题）()4()3sin2ututt*3()sin24uttt╳上次课内容回顾求下列非齐次方程的特解（上次课习题）()4()3sin2ututt*3()cos24uttt答案：√上次课内容回顾上次课内容回顾求下列非齐次方程的特解（上次课习题）()4()3sin2ututt*12()(cos2sin2)kuttCtCt2ii特解:240s特征方程:2sii是特征方程的单根1k*12()(cos2sin2)uttCtCt特解:134C20C*3()cos24uttt同一个实际系统，我们的研究目的不一样，得到的力学模型也可能不一样。简化mkc机床弹性衬垫基础混凝土问题1如果估算机床的整体振动或以设计隔振器为目的就可以将此系统简化为单自由度系统；以研究机床工作时机床本身的弹性变形引起的振动，则不能将其简化为单自由度系统，一般要用有限单元法分析。m1k2k3k4k问题23k4k1k2k√m1k2k3k4k问题23k4k1k2k╳m1k2k3k4k问题3mk刚性杆无质量弹性杆F/kFmk等效第二讲：无阻尼单自由度系统的自由振动•正确理解固有频率的概念•会求单自由度无阻尼系统的固有频率第一章：单自由度系统的振动无阻尼单自由度系统的自由振动1.固有频率概念的引出()()0mutkut()stutue2()0msku1,2nksiimkm图无阻尼单自由度系统20msknkm固有频率单位：rad/s特征方程natrual的第一个字母对固有频率的正确理解：①固有频率仅取决于系统的刚度和质量；②固有频率与初始条件和外力等外界因素无关，是系统的固有特性；它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系nkm固有频率无阻尼单自由度系统的自由振动2初始扰动引起的自由振动00(0),(0)uuuu自由振动：00()cossinnnnuututt0102,nuaua()()0mutkut运动方程：12()cossinnnutatat通解：1,2nsi特征根：无阻尼单自由度系统的自由振动()sin()nutat初相位振幅：2200nuau00arctannuu初相位：自由振动：振幅简谐运动的三要素频率•初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入了弹性势能，有初始速度即注入了动能。•无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止；n•在简谐运动三要素中，哪些参数是系统的固有参数？哪些参数是依赖于外部条件的参数？无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动(1)简谐振动是一种周期振动()()nutTut周期振动满足：振动周期，单位：秒（s）3简谐振动的特征()sin()nutat22nnmTk无阻尼单自由度系统的固有周期无阻尼单自由度系统的自由振动固有频率表示单位时间内重复振动的次数.nf2nnfnf的单位：rad/scyclesHzrad/cycles无阻尼单自由度系统的自由振动图Nastran的f06文件给出的结构的固有频率值无阻尼单自由度系统的自由振动(2)简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系()sin()nutat()cos()sin()2nnnnutatat求导22()sin()sin()nnnnutatat求导速度与位移的“相位差是90度”意味着什么？加速度与位移的“相位差是180度”意味着什么？位移最大时，速度为零；速度最大时，位移为零加速度与位移的最大值出现在同一时刻，但符号相反无阻尼单自由度系统的自由振动(3)振动方向相同的简谐振动的合成①两个频率相同的简谐振动的合成（相加）结果仍为简谐振动，且频率不变；若两个分振动同相，则两分振动相互加强若两个分振动反相，则两分振动相互减弱outut无阻尼单自由度系统的自由振动②两个同频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为有理数（可通约）时，合成振动为周期振动；为无理数时，为非周期振动；1111222212()sin()()sin()utatutat01020()()()utTutTutT12mn设频率比为有理数21TmTn12()()utut120mTnTT记1122()()utmTutnT12()()()ututut合成信号：()ut无阻尼单自由度系统的自由振动③可通约的两个近频简谐振动合成后会产生周期性的拍振。uatuat11122212sin(),sin(),12212121212121()()()=sin()222cos(sin()222()2)atuatututttt无阻尼单自由度系统的自由振动拍：合振幅