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专题01集合的概念与运算【高频考点解读】1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.8.集合部分主要以考查集合的含义、基本关系与基本运算为主，题目简单、易做，大多都是送分题．9.近几年部分省市也力求创新，创造新情境，尽可能做到灵活多样，甚至进行一些小综合，比如新定义题目，与方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现．10.题型以选择题为主，大多都是试卷的第1题.【热点题型】题型一考查集合的基本概念例1、已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3【提分秘籍】(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.集合{x|f(x)＝0}{x|f(x)0}{x|y＝f(x)}{y|y＝f(x)}{(x，y)|y＝f(x)}集合的意义方程f(x)＝0的解集不等式f(x)0的解集函数y＝f(x)的定义域函数y＝f(x)的值域函数y＝f(x)图象上的点集(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．【举一反三】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10【热点题型】题型二集合与集合的基本关系例2、已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则()A．ABB．BAC．A＝BD．A∩B＝∅【解析】A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，所以BA.【答案】B【提分秘籍】(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．(2)若两个集合相等，首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方程组求解，要注意挖掘题目中的隐含条件．(3)易错警示：①利用数形结合思想处理集合与集合之间的关系时，要注意数轴端点是实心还是空心．②题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．【举一反三】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则实数m的取值范围________．【解析】由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B⊆A.②若B≠∅，如图，则m＋1≤2m－1，－2≤m＋1，2m－1≤5.解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．【答案】(－∞，3]【热点题型】题型三集合的基本运算例3、设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．【提分秘籍】(1)在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．(2)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对集合进行讨论．【举一反三】已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N＝()A．MB．NC．ID．∅解析：∵N∩∁IM＝∅，∴N⊆M，∴M∪N＝M.答案：A【热点题型】题型四以集合为背景的新定义题例4、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4【提分秘籍】1.对“类”的正确理解（1）由“类”的定义知，[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4，即Z中的所有元素共分为[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，5类．（2）“a，b属于同‘类’”⇒a＝5n1＋k，b＝5n2＋k⇒a－b＝5(n1－n2)；反之，a－b∈[0]⇒a－b被5除余数为0⇒a，b被5除余数相等．2.解题方法(1)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；本题根据所给的“类”的概念，对逐个选项进行判断，从中找出正确的结论．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．【举一反三】已知集合M，若a∈M，则a＋1a－1∈M，则称a为集合M的“亮点”，若M＝{x∈Z|44－x≥1}，则集合M中的“亮点”共有()A．2个B．3个C．1个D．0个【高考风向标】1．（2014·北京卷）已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}【答案】C【解析】∵A＝{0，2}，∴A∩B＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}．2.（2014·福建卷）若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.3．（2014·广东卷）已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，则M∪N＝()A．{0，1}B．{－1，0，2}C．{－1，0，1，2}D．{－1，0，1}【答案】C【解析】本题考查集合的运算．因为M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{－1，0，1，2}．4．（2014·湖北卷）U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（2014·辽宁卷）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0x1}【答案】D【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．6．（2014·全国卷）设集合M＝{x|x2－3x－40}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝()A．(0，4]B．[0，4)C．[－1，0)D．(－1，0]【答案】B【解析】因为M＝{x|x2－3x－40}＝{x|－1x4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝{x|－1x4}∩{0≤x≤5}＝{x|0≤x4}．7．（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x2}，则A∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1，2)B．[－1，1]D．[1，2)【答案】A【解析】集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1]．8．（2014·新课标全国卷Ⅱ]设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【答案】D【解析】集合N＝[1，2]，故M∩N＝{1，2}．9．（2014·山东卷）设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝()A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3)D．(1，4)【答案】C【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C.10．（2014·陕西卷）设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x21，x∈R}，则M∩N＝()A．[0，1]B．[0，1)C．(0，1]D．(0，1)11．（2014·四川卷）已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1，0，1，2}B．{－2，－1，0，1}C．{0，1}D．{－1，0}12．（2014·天津卷）已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若anbn，则st.＝（q－1）（1－qn－1）1－q－qn－1＝－10，所以st.13．（2014·浙江卷）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝()A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}【答案】B【解析】∁UA＝{x∈N|2≤x5}＝{2}，故选B.14．（2014·重庆卷）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁UA)∩B＝________．15．（2013·重庆卷）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝()A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}【答案】D【解析】因为A∪B＝{1，2，3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.16．（2013·北京卷）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x1}，则A∩B＝()A．{0}B．{－1，0}C．{0，1}D．{－1，0，1}【答案】B【解析】∵－1∈B，0∈B，，∴A∩B＝{－1，0}，故选B.17．（2013·广东卷）设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0}B．{0，2}C．{－2，0}D．{－2，0，2}【答案】D【解析】∵M＝{－2，0}，N＝{0，2}，∴M∪N＝{－2，0，2}，故选D.18．（2013·湖北卷）已知全集为R，集合A＝，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x2或x4}D．{x|0x≤2或x≥4}【答案】C【解析】A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，∁RB＝{x|x2或x4}，可得答案为C.19．（2013·湖南卷）设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中ca0，cb0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∈(－∞，1)，f(x)0；②∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∈(1，2)，使f(x)＝0.20．（2013·江苏卷）集合{－1，