第四章(无限自由度系统的振动)

无限自由度系统的振动第四章引言mkcmmm2kck2kk1u2u3u离散系统连续系统分布参数系统无限自由度系统引言杆：以拉压为主要变形的构件FF轴：以扭转为主要变形的杆TT梁：以弯曲为主要变形的杆F一个方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸板：一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸的构件引言瑞士-俄罗斯科学家Euler（1707-1783）1744年，Euler研究了梁的横向自由振动，导出了铰支、固定和自由三类边界条件下的振型函数与频率方程1759年，Euler解决了矩形膜的自由振动问题1814-1850年，Poisson、Kirchhoff、Navier建立板弯曲振动理论。引言1.连续系统的振动是时间和空间坐标的函数2.连续系统的运动方程要用偏微分方程来描述3.连续弹性体有无限多个固有频率和固有振型(,)uxtxuAAox连续系统与离散系统不同之处：引言连续系统与离散系统相似之处：1.连续系统固有振型关于质量与刚度具有加权正交性2.连续系统的自由振动可表示为各阶固有振动的线性叠加3.对弹性体的振动，模态叠加法、模态截断等方法同样适用引言微振动假设研究对象为理想弹性体，即匀质分布，各向同性和服从胡克定律。基本假设：实际工作中，如何分析连续系统的振动？（1）首先判定是否是简单几何和边界条件的系统，如果是，则可获得系统固有振动特性和响应的解析解（本章内容）引言（2）如是复杂几何和边界条件的系统，则用有限单元法求解图利用有限单元法将连续系统（阿波罗飞船）离散化为离散系统第一讲：弹性杆的纵向振动第四章：无限自由度系统的振动弹性杆的纵向振动xy图弹性杆的纵向振动(,)uxt杆的纵向振动主要研究杆的任一截面沿方向（轴线）的振动规律。x火箭的纵向耦合振动POGOvibration大型液体火箭的结构与推进系统相互作用而产生的不稳定振动。其特征频率是由结构纵向振动与推进剂输送管路振动的固有频率彼此接近或相等时所产生的一个共振频率，它的幅值开始于动力飞行过程中的某瞬间,随后达到最大,最后减弱。幅值达到最大时会引起火箭剧烈振动，使整个火箭出现不稳定状态。振动量级超过设计允许值时会影响火箭上仪器、设备的工作可靠性。对于载人航天器,还会导致航天员生理失调,如视力模糊等。【纵向振动的例子】弹性杆的纵向振动“神五”火箭发射后120秒时，火箭箭体的纵向振动和液氧输送管路中的液氧水平振动出现了耦合，形成一种纵向耦合振动，造成航天员的痛苦。神六设计时便改动了氧气输送管道的一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但航天员的痛苦大大减轻。图神州五号飞船神六减轻“第120秒痛苦”弹性杆的纵向振动(一)直杆的纵向振动微分方程oxlxdx(,)fxt(,)uxt长度为l横截面积为A(x)材料弹性模量为E(x)体密度为(x)u(x,t)表示坐标为x的截面在时刻t的纵向位移f(x,t)是作用在杆上的纵向分布力dxuuudxxfdxNNNdxx(一)直杆的纵向振动微分方程oxlxdx(,)fxt(,)uxtABCuudxxuABudxxxudxu微段的轴向应变：(,)xt(,)(,)uxtudxuxuxtdxx横截面轴向力：(,)Nxt(,)()(,)()()()uxtExxtAxExAxxdxuuudxxfdxNNNdxx(一)直杆的纵向振动微分方程xtxftxNxxtxNtxNttxuxxAxd),(),(]d),(),([),(d)()(22（直杆纵向受迫振动微分方程）()()(,)[()()(,)](,)xAxuxttxExAxuxtxfxt22(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)22222(,)(,)1(,)uxtuxtcfxtAtxcE(一)直杆的纵向振动微分方程（直杆纵向受迫振动微分方程）()()(,)[()()(,)](,)xAxuxttxExAxuxtxfxt2222222(,)(,)uxtuxtctx(二)杆的纵向固有振动（分离变量法）uxtUxqt(,)()()2()()()()UxqtcqtUx22()()()()qtUxcqtUx22()()()0()()0UxUxcqtqt1.固有振动(二)固有振动1212(,)()()(cossin)(cossin)uxtUxqtaxaxbtbtcc固有振动的表达式固有振型函数12,bb由初始条件确定12,,aa由边界条件确定1212()cossin()cossinUxaxaxccqtbtbt22()()()0()()0UxUxcqtqt简单边界条件固定端：自由端：0u0U0xuEANU0(二)固有振动xy2.边界条件(二)固有振动(0)0,()0UUl边界条件：【例1】：求两端固定杆的纵向振动固有频率和固有振型。120,sin0aalc12()cossinUxaxaxcc固有振型函数：sin0lc,1,2,nncnEnll各阶固有频率xl(二)固有振动2()sinUxaxc,1,2,nncnEnll()sinsinnnnUxxxclxl0)(,0)0(lUU边界条件：【例2】：求一端固定一端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。(二)固有振动xyl120,cos0aalcc12()cossinUxaxaxcc固有振型函数：1(),1,2,2ncnnlcos0lc各阶固有频率(二)固有振动(21)()sin,1,2,2nnxUxnl各阶固有振型函数xyl1st2nd3rd(二)固有振动x两端自由【课堂练习】：求两端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。(0)0,()0UUl210,sin0aalcc12()cossinUxaxaxcc1,2,nnc,nl0sin0lc()cosnnUxxl0()1UxSTOP第二讲：1.轴的扭转振动2.课堂练习(一)轴的扭转振动oxlxdx长度为l横截极惯性矩Ip(x)材料剪切模量为G(x)体密度为(x)θ(x,t)表示坐标为x的截面在时刻t的角位移Me(x,t)是单位长度轴上分布的外扭矩dxx1.运动方程oxxdxdxxdxdxtMttMMdxx2()tptteMIdxMdxMMdxtxtpMGIx2ppeIGIMtxx22221epcMtxI(一)轴的扭转振动1212(,)()()(cossin)(cossin)xtxqtaxaxbtbtcc(一)轴的扭转振动简单边界条件固定端：自由端：000tpMGIx0x2.边界条件(二)课堂练习【课堂练习1】：求如图所示的上端固定，下端有一附加质量M的等直杆作纵向振动的频率方程。xLM,,EAO(0)0U上端边界条件：下端边界条件：22(,)(,)uLtuLtEAMxt1212(,)()()(cossin)(cossin)uxtUxqtaxaxbtbtcc10a2(,)cos()uLtaLqtxcc2222(,)sin()uLtaLqtct2cossinEALMLccc2EctanALLLccM【课堂练习2】：求如图所示的一端固定一端弹性支撑的杆作纵向振动的频率函数。(二)课堂练习L,,EAOxk左端边界条件：(0)0U10a12()(cossin)Uxaxaxcc右端边界条件：()()xLdUxEAkULdxcossinLLEAkccctanLEAcLkLc(二)课堂练习11,,,EAL2x22,,,EAL1x1o1u2u2o【课堂练习3】：求如图所示的阶梯杆纵向振动时的频率方程。1111111111(,)()()(cossin)()uxtUxqtaxbxqtcc2222222222(,)()()(cossin)()uxtUxqtaxbxqtcc112112212120()()xLxdUxdUxEAEAdxdx2222()0xLUx111110()0xdUxEAdx10b112()(0)ULU112cosaLac2222cossin0aLbLcc11122sinEAaLEAbc112cos0Laac11122sin0EALaEAbc2222cossin0LaLbcc112122221sin00cossin0cos10EALEAcaLLaccbLc112221sin00cossin0cos10EALEAcLLccLc2121tantanALLccA(二)课堂练习STOP第四章：无限自由度系统的振动第三讲：Euler-Bernoli梁的振动梁：以弯曲为主要变形的杆引言引言Eluer-Bernouli梁：忽略剪切变形和绕中性轴转动惯量的梁Timoshenko梁：计及剪切变形和绕中性轴转动惯量的梁瑞士-俄罗斯科学家Euler（1707-1783）DanielBernoulli(1700–1782)引言①直梁假设②梁具有纵向对称面，在弯曲振动时梁的挠曲线始终在这一平面内Eluer-Bernouli梁的基本假设：x对称面wy引言Eluer-Bernouli定律：22(,)(,)wxtMxtEIxE：弹性模量I：截面对中性轴的惯性矩，简称截面惯性矩EI：梁的弯曲刚度(,)wxt：梁的挠曲线zyOdAyz2zAIydA2yAIzdA引言),(txfxwxdxl(,)mxto梁的长度l梁的横截面积A(x)梁的体密度(x)梁的弹性模量E(x)截面惯性矩I(x)坐标为x的截面中性轴在t时刻的横向位移为w(x,t)单位长度上的分布外力f(x,t)单位长度上的分布外力矩m(x,t)梁的弯曲振动方程左截面向上剪力为正；右截面的正负：向下为正正负号规定QQQdxxMMMdxx(,)fxtdx(,)mxtdx左截面上顺时针方向为正；右截面上逆时弯矩针的正负：方向为正梁的弯曲振动方程),(txfxwxdx(,)mxtoQQQdxxMMMdxx(,)fxtdx(,)mxtdx22(,)()()d(,)(,)[(,)d](,)d(,)[(,)]dwxtxAxxtQxtQxtQxtxfxtxxQxtfxtxx由牛顿第二定律：方程(1)(,)(,)(,)(,)(,)MxtQxtdxMxtMxtdxmxtdxx微元力矩平衡：QxtMxtxmxt(,)(,)(,)方程(2)梁的弯曲振动方程2222(,)(,)(,)()()(,)[]wxtMxtmxtxAxfxtxtx22(,)(,)()()wxtMxtExIxx()()(,)[()()(,)](,)(,)xAxwxttxExIxwxtxfxtxmxt222222AwxttEIwxtxfxtxmxt2244(,)(,)(,)(,)均匀梁的弯曲振动方程梁的弯曲振动方程222222(,)(,)()()[