必修4第三章---三角恒等变换单元教学设计

必修4第三章三角恒等变换单元教学设计案例3.1.1两角和与差的余弦（一）教学目标知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力．情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．（二）教学重点，难点本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．（三）学法与教学用具1.学法：启发式教学2.教学用具：多媒体（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图探究提出问题并引入新课师：探究coscos)cos(生：反例：3cos2cos)32cos(6cos问题：cos,cos),cos(的关系？创设问题的情景，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动复习复习有关知识，寻求解决问题的思路复习：1。余弦的定义在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为P,cos等于角与单位圆交点的横坐标通过复习相关知识为下面公式的推导做好铺垫。终边yxOP2．能否用向量的方法求角的余弦？师：M、N是两边上任一点，ONOMONOMcos（显然为了简化计算，取M、N为两边与单位圆的交点，此时有ONOMcos）公式的推导公式的推导证明公式理解和基本掌握。如图构造角，终边与单位圆交于Q,,终边Q终边yxOP师：指出角与OQOP,关系：生：ZkkOQOP,2,则OQOP,cos)cos(师：写出点P、Q坐标生:)sin,(cos),sin,(cosPQ带领学生推导公式：sinsincoscos)cos(（板书）因为：OQOPOQOPOQOP,cos)cos()sin,(cos)sin,(cosOQOP通过定义的复习，在坐标系中找到差角的几何表示，利用以上的铺垫引导学生试探采用向量方法去解决问题，同时也体会到向量的工具性作用。sinsincoscos1OQOP所以：sinsincoscos)cos(公式记号)(C公式的深化对公式进行更深层次的认识思考并讨论：（投影）1）问题解决的思路与方法2）体现了α与β的任意性吗？3）探究cos()的公式由学生回答上述问题，教师点评：结论如下1）主要利用了向量这个工具，体会其作用与便利之处.。回归到余弦的定义，数形结合，利用单位圆简化了计算。2）α与β有任意性，有ZkkOQOP,2,说一该公式具有一般性。3）把公式Cα-β中的β换成-β，则有板书：cos［α-（-β）］=cosα·cos（-β）＋sinα·sin（-β）＝cosα·cosβ-sinα·sinβ，即cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ（α，β∈R）．公式记号)(C师：公式有何特点？如何记忆生：公式的结构和特点：“同名异和差”对推导过程进行回顾，彻底理清解决问题的思路，体会用到的数学思想及方法。同时通过对问题的讨论，让学生对公式对有一个清晰完整的认识，为公式的灵活运用打下基础，进一步培养学生探索的能力。对公式进行深挖掘，显示其“辐射”的作用培养学生的分析、联想能力、优化思维品质。主要是公式右端中间的“＋、-”号与公式左端α与β间的“-、＋”号正好相反．公式的应用例1、利用和、差角余弦公式求0105cos及cos15的值学生练习、板演，教师讲评注意将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表求值让学生初步掌握公式的应用，，并进一步熟悉公式的特征，为以后灵活应用作铺垫。归纳小结从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结公式推导中向量的应用公式的结构特征在三角变换时，本公式应用中，首先应考虑根据题目的条件与结论来进行角的变换奎屯王新敞新疆使学生对本节知识有一个清晰完整地认识，并点出问题解决的基本思路与方法。布置作业教材习题3.1.1练习A1,2,3练习B1思考题：cos,1411)cos(,71cos求均为锐角，，且已知巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，给学有余力的学生留出自由发展的空间案例３.1(２)（一）教学目标１．知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值．２．能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力．３．情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质．（二）教学重点，难点重点是公式的结构特点，会用公式求值．难点是公式的逆向和变形运用．（三）教学方法教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中．（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习公式coscoscossinsincoscoscossinsin先让学生默写两角和与差的余弦公式，然后指出这两个公式是讨论复角与单角,的余弦函数间的关系，且此关系对任意角,均成立，并且要注意coscoscos是错误的．coscoscos以旧引新，注意创设情境，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动．公式的运用例２，已知4cos()52，求cos(),cos()66．例２学生练习，板演，教师讲评注意几个问题：（１）特殊角不需要查表，直接求出三角函数值．（２）再求sin时，要注意角的取值范围，三角函数值的正负．（３）代入时，从左至右依次代入．（４）注意coscossinsincos()coscossinsincos()可以象上面这样逆用．例２是使学生掌握公式的正向应用，并进一步熟悉公式的特征，为后面的灵活运用奠定基础．变式１：已知111coscos()7,14,且,均为锐角，求cos.变式１教师讲评注意几个问题：（１）将看作一个整体，角由()得到．（２）应用公式coscos()cos()cossin()sin（３）由002,2得到0，再进一步参考11cos()14．确定sin()的值．变式１是一个典型例题，在变式中注意配凑公式，对它的解法深入讨论，有益于启发学生思维，提高学生的解题能力，且在解题过程中提炼思想方法，有利于培养学生良好的思维品质．公式的运用例３利用C证明：cos(21)cosk()kZ例３学生练习，教师讲评注意两个问题：（１）方法１可以按和差角的余弦公式直接展开，将(21)k看作一个整体角．（２）方法２也可以(21)2kk，再按诱导公式进行运算．例３要求学生用两种方法来做，培养学生良好的思维品质．公式的运用练习１，已知sinsin0.4,xycoscos1.2xy求cos()xy．练习１使用平方法将两个等式平方，然后相加，利用2222sincos1sincos1xxyy只剩下coscossinsinxyxy问题得解．思维过程可以逆向，（考虑由cos()xy入手，寻找coscos,sinsinxyxy想到平方．）通过这个练习，培养学生良好的发现问题解决问题的能力．归纳小结从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结．对公式做到一掌握，二会想，三会用．使学生对所学内容有一个清晰完整的认识，并点出三角公式的基本方法，体现了＂授之以鱼，不如授之以渔＂的教育思想．布置作业教材练习３．１B2,3教材p154页１思考题：1．已知cos()=31求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值。2．sinsin=21，coscos=21，(0,2),(0,2),求cos()的值巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时给学有余力的学生留出自由发展的空间．§3.1.2两角和与差的正弦一、教学目标1、知识与技能目标：能从两角差的余弦公式导出两角和、差正弦公式，了解它们的内在联系。2、过程与方法目标：引导学生推导和角公式，使学生认识整个公式体系的推理和形成的过程。从这一过程中，使学生领会其中体现出来的数学基本思想、蕴含的创新思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质。3、情感、态度与价值观目标：通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。体会学科间的联系。二、教学重点、难点1.教学重点：两角和、差正弦公式的应用和旋转变换公式。2.教学难点：利用两角和的正弦公式变sincosab为一个角的三角函数的形式。三、教学方法研讨式教学，讲授式教学四、教学过程：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：coscoscossinsin；coscoscossinsin．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦公式.sincoscoscoscossinsin2222sincoscossin．sinsinsincoscossinsincoscossin让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征sinsincoscossin①里加外加，里减外减sinsincoscossin②,,,顺序不变简单应用：（视学生情况，2可酌情删减）1、求00sin75,sin15的值（答案：6262,44）2、（口答）课本138页练习A1——4题（二）例题讲解例题安排：例1与例2是三角与向量的综合问题，其过程是一次旋转变换。例1是例2的一个特例，在编排上体现了由特殊到一般的认识规律，例2求证的结论是一组旋转变换公式。由此，在安排上，例1作为重点讲解，而例2则留给学生自己课下解决。培养学生举一反三，由特殊到一般的学习能力。例3与例4也是由特殊到一般的关系。先讲例3降低了难度，为例4打好了基础，这样例4便也可由同学仿照例3研讨得出。例5体现了数学学科与物理学科的联系，增强了学生的学习兴趣，可留作思考作业课下完成。例1、已知向量(3,4)OP，逆时针旋转045到'OP的位置。求点'(',')Pxy的坐标解题分析：问题1、P点坐标知道吗？问题2、OP旋转到'OP，什么变了，什么没变？问题3、通过前面的学习，你能利用三角函数的知识解决这个问题吗？解：设xOP由(3,4)OP可知(3,4)P所以22345OP，而'5OPOP又因为34cos,sin55同理00''cos45,sin4555xy所以000'5cos455coscos45sinsin4532425525222x同理000'5sin455sincos45cossin45423255252722y所以272'(,)22P例2（学生课下仿照例1研讨完成）已知点(,)Pxy，与原点的距离保持不变，逆时针旋转角到点'','Pxy。求证：'cossin'sinc