20120810-微分方程模型及软件求解

微分方程模型及软件求解河南科技大学数学与统计学院在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。微分方程模型古尸的年代鉴定问题放射性核废料处理问题流入--流出问题人口问题生物种群模型兰彻斯特（Lanchester）作战模型在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？c14c12一古尸年代鉴定问题年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。c14背景宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的。从古至今，碳不断产生，同时其本身又在不断的放出射线而裂变为氮。大气中处于动态平衡状态，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂变规律衰减。c14c12基本原理从星际空间射到地球的射线c14c14c14c14裂变速率与剩余量成正比。Kc14=1/8000)()()(1214txtxtycc设t为死后年数，80001414ccxdtdx.,,012140数量的比例与即活体中时则ccyyt8000tCey8000ydtdy建立模型80000teyy时当yy00624.0yrt22400062408000.ln求得此即所求死亡年数。以前，美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里，然后扔到水深为300英尺的海里。生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？美国原子能委员会：不会破裂（用实验证明）。又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？美国原子能委员会：决不会。二放射性核废料处理问题圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过40英尺/秒？若圆桶与海底碰撞时的速度超过40英尺/秒时，就会因碰撞而破裂。这几位工程师通过大量的实验证明:通过建立数学模型来解决这一问题。233527.43632.2/,7.35,63.99/,GgV海水磅，英尺秒英尺磅英尺1一些参数及假设：,0.08fcvc假设圆筒下沉时，所受海水的阻力与其速度成正比，即受力分析：fFGF浮xyGf浮Fo2建模与求解527.436G磅==63.997.35470.327FV浮海水磅,0.08fcvc根据牛顿第二定理]1[)(/mctecFGtv浮可解得：极限速度为：0)0(vmcvmFgdtdv浮lim()713.86/tGFvvtc浮英尺秒将速度v看成位置y的函数v(y)，由于dydvvdtdydydvdtdv0)0(vmcvmFgdtdv浮代入：00)(vmcvmFgdydvv浮mcvmFgdydvv浮012mycvFGcvcFG)ln(浮浮其解为：仍未解出v是y的显函数。1300300300)()()(),()(vvFGcvvv浮2)1ln(2xxx012mycvFGcvcFG)ln(浮浮030023002mFGv)()(浮由近似公式秒英尺浮/.)()(7453002300GFGgv3结论：若圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺/秒，会因碰撞而破裂。这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的。现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井。我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置核废料，防止放射性污染。一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。ghv2通过解决此问题想到什么？三流入--流出问题BAhhh第一步列方程等量关系：水面1水面2设时刻的水面高度为th时的水面高度为tthh时间由水面1降到水面2所失去的水量等于从小孔流出的水量。tsBhAs是水在时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离tsBhAtsBthAttlimlimdtdsBdtdhAghABdtdh2初始条件Hh)(0可分离变量的方程。第二步解方程ghABdtdh2222tgABHh得水面高度与时间的函数关系为水流空所需时间为(令h=0)gHBAt2思考1一截面积为常数A，高为H的水池，其池底有一横截面积为B的小孔，水池顶部有进水孔，单位时间进水量为V，从小孔流出的水速为，求在任一时刻的水面高度（设开始时水池水的高度为）。ghv20h等量关系：时间内水池的积水量=进水量-出水量。sBtVthtthA)]()([BvVtthtthA])()([ghBVdtdhA2初始条件00hh)(可分离变量方程tCtAgBhhhhee22)ln(时当0hhe)ln(00hhhhCee其中222gBVhe记等于流出的水量即此时流入水中的水量，水池水面高度保持平衡时当,0hhe时，当0hheCtAgBhhhhee22)ln()ln(00eehhhhC其中四人口模型简单模型Malthus模型Logistic模型人口问题一问题的提出人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首。人口在不断的增长，其增长有无规律可循？目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。二建模准备资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。近一千年人口统计比较精细。看下图。180010人口（亿）年1930201960301974401987501999602033100我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载：17602人口（亿）年19004195361974计划生育9.2199011.6200513联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。198911199512三建立模型1简单模型要预报未来若干年的人口数，两个重要因素：当前的人口数，今后这些年的增长率（出生率-死亡率）0xr一年后，人数增加到)1(0001rxrxxx20002)1()1()1(rxrrxrxxk年后，人口数为kkrxx)1(0若想知道任何时刻的人口数，怎么办？对时间连续化！两年后，2Malthus模型马尔萨斯(Malthus1766--1834)是英国的人口学家。他根据百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的人口指数增长模型。•基本假设：人口净相对增长率为常数。净相对增长率是单位时间内的人口的增长量占当时的人口总数的比例。设净相对增长率为，时刻人口总数为。rt)(tN经时间后人口总数为t)(ttNrttNtNttN)()()()()()(trNttNttN0t)()(trNdttdN•Malthus模型00)()()(NtNtrNdttdN•求解rdtNdNdtrNdNCrttN)(lnCtreCCetN)(000)(,NtNtt00treNC)()(00ttreNtNotNN00)0(,0NNt•分析数据表明，在1700—1961年期间，世界人口吻合较好。在此期间，人口约35年增长一倍。,02.0r按模型计算，取2.02000teNN02.02lnt2ln50t34.6639.050t问题：利用此模型能预测未来吗？1）1960年世界人口总数为30亿，按Malthus模型计算，到2692年人口总数将增至151063.5地表面积为1510586.5平方英尺，其中只有28%的陆地表明给每人1平方英尺（约为9.3平方分米）的站立面积，那么，能容纳总人口必须把人堆放3层以上。2）资源能否提供保证如此多人口的需要？以上两点说明，Malthus模型只适用于人口相对少时的情形，当人口增多时与实际不吻合。其原因，随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显。如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随人口的继续增加而减少。为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改Malthus模型中的人口相对增长率为常数的假设。3Logistic模型（阻滞增长模型）•假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。sNrNr)(,)(0rNrN时，当r表示人口的自然增长率。rNrN)(,0令K为人口的最大容纳量，那么0,)(,0)(KrNrKN即时，当,0sKrKrs即)1())((KNrNKrrtNr阻滞因子•Logisitic模型00)()1()(NtNNKNrdttdN•求解rdtKNNdN)1(rdtdNNKN)11(CrtNKNlnCtreCCeNKN,000treNKNCtrtrCeCKetN1)()(0)1(1)(ttreNKKtN，取00tN(t)的图形请看右图•---Logisitic模型001NtNNNrNdttdNm)())(()(调整，可使阻滞因子变大或缩小。•更复杂的人口模型•Gompertz模型mNNNdtdNln五生物种群模型1简介种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。种群生态学：主要研究种群的时间动态及调节机理。种群分为单种群和多种群。单种群的数学模型：1)马尔萨斯(Malthus)模型rNdtdN表示时刻的种群数量，称为内禀增长率。Ntr2)罗杰斯特(Logistic)模型rNdtdN)(00)()(ttretNtNNKNrdtdN)1(表示该种群的最大容纳量。K)()()(0001)(ttrtNtNKeKtN应用广泛：细菌繁殖，元素的放射性，岩石的剥蚀与沉积，高山的隆升，新产品的推销，流行病的传播，谣言的传播等问题。2两种群的一般模型两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在时刻的数量为，则线性化，得t)(),(tytx)()()()(222111ygxfrydtdyygxfrxdtdx)()(222120121110yaxaaydtdyyaxaaxdtdx)()(222120121110yaxaaydtdyyaxaaxdtdx1)表示甲（乙）种群的自然生长率；2)表示甲（乙）种群为非密度制约，表示甲（乙）种群为密度制约；3)表示甲、乙种群相互竞争；4)表示甲、乙种群相互依存；5)表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。)(20