高中数学求函数解析式经典精讲精练

第1页共15页求函数解析式常用的方法（一）待定系数法它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例1：已知()fx是二次函数，若(0)0,f且(1)()1fxfxx试求()fx的表达式。解析：设2()fxaxbxc(a0)，由(0)0,f得c=0，由(1)()1fxfxx得，22(1)(1)1axbxcaxbxcx，整理得22(2)()1axabxabcaxbcxc得212211120011()22aabbabccbccfxxx小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=kx(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)例1设)(xf是一次函数，且34)]([xxff，求)(xf解：设baxxf)()0(a，则babxabbaxabxafxff2)()()]([第2页共15页342baba3212baba　或　　32)(12)(xxfxxf　　或　　（二）换元法用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例2：已知(1)21,fxxx求()fx的解析式。解析：如果把1x视为t，那左边就是一个关于t的函数()ft,只要在等式1xt中，用t表示x,将右边化为t的表达式，问题即可解决。令1xt22201()(1)2(1)1()(1)xtfttttfxxx小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。注意：换元后要确定新元t的取值范围。(三)配凑法已知复合函数[()]fgx的表达式，要求()fx的解析式时，若[()]fgx表达式右边易配成()gx的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。例3：已知(1)2,fxxx求()fx的解析式。分析：2xx可配凑成可用配凑法，解：由2(1)2()1fxxxx，令1tx，01xt则2()1ftt，即2()1(1)fxxx，当然，上例也可直接使用换元法，令1tx，则1tx第3页共15页得222(1)()(1)2(1)1xtftttt，即2()1(1)fxxx，由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。例4：已知2211(),fxxxx求()fx.解析：由222111()()2fxxxxxx，令2110txxtxx，由0即240t得tR2()2ftt即：2()2()fxxxR实质上，配凑法和换元法一样，最后结果要注明定义域。例2已知221)1(xxxxf)0(x，求()fx的解析式解：2)1()1(2xxxxf，21xx2)(2xxf)2(x(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。条件中，有若干复合函数与原函数()fx混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。例5：设()fx满足1()2(),fxfxx求()fx的解析式。分析：要求()fx可消去1()fx,为此，可根据题中的条件再找一个关于()fx与1()fx的等式，通过解方程组达到消元的目的。解析：1()2()fxfxx①，显然，0x,将x换成1x得11()2()ffxxx②由1()2()11()2()fxfxxffxxx消去1()fx，得12()33fxxx例6设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式解)()(),()(xgxgxfxf，又11)()(xxgxf①，用x替换x得：第4页共15页11)()(xxgxf，即11)()(xxgxf②，解①②联立的方程组，得11)(2xxf，xxxg21)(小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、1()fx；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。（五）赋值法其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。例5：已知(0)1,()()(21),ffabfabab求()fx。解析：令0,a则2()(0)(1)1fbfbbbb令bx则2()1fxxx小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。六、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式解：设),(yxM为)(xgy上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3,2(的对称点则3222yyxx，解得：yyxx64，点),(yxM在)(xgy上，xxy2，把yyxx64代入得：)4()4(62xxy，整理得672xxy，67)(2xxxg第5页共15页七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设)(xf是定义在N上的函数，满足1)1(f，对任意的自然数ba,都有abbafbfaf)()()(，求)(xf解Nbaabbafbfaf,)()()(，，不妨令1,bxa，得：xxffxf)1()1()(，又1)()1(,1)1(xxfxff故①分别令①式中的1,21xn得：(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),fffffnfnn，将上述各式相加得：nfnf32)1()(，2)1(321)(nnnnfNxxxxf,2121)(2五、待定系数法例5.已知二次函数)x(f的二次项系数为a，且不等式x2)x(f的解集为（1，3），方程0a6)x(f有两个相等的实根，求)x(f的解析式。解：因为的0x2)x(f解集为（1，3），设0a),3x)(1x(ax2)x(f且，所以x2)3x)(1x(a)x(fa3x)a42(ax2①，由方程0a6)x(f，得0a9x)a42(ax2②，因为方程②有两个相等的实根，所以0a9a4)]a42([2，即,01a4a52解得51a1a或，又51a,0a所以，将51a①得53x56x51)x(f2。六、函数性质法第6页共15页利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。例6.已知函数)x(fy是R上的奇函数，当)x(f,13)x(f,0xx求时的解析式。解析：因为)x(f是R上的奇函数，所以)x(f)x(f),x(f)x(f即，当0x,0x时，13)13()x(f)x(fxx，所以0x,130x,13)x(fxx七、反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。例7.已知函数)0x(1xlny，求它的反函数。解：因为0x，1yex,1yxln,1xlnyR1xlny所以得由反函数为)Rx(ey1x八、“即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。例8.对定义域分别是gfDD、的函数)x(gy),x(fy，规定：函数gfgfgfdxDx),x(g,DxDx),x(fDxDx),x(g)x(f)x(h且当且当且当若2x)x(g,1x1)x(f，写出函数)x(h的解析式。解：1x,1),,1()1,(x,1xx)x(h2九、建模法例9.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图1），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？第7页共15页解：设容器高为xcm，容器的容积为)x248)(x290(x)x(V,cm)x(V3则)24x0(x4320x276x423。求)x(V的导数，得)(36x,10x,0)x('V)36x)(10x(12)360x46x(124320x552x12)x('V2122舍去得令，当0)x('V,10x0时，那么)x(V为增函数；当0)x('V,24x10时，那么)x(V为减函数；因此，在定义域（0，24）内，函数)x(V只有当10x时取得最大值，其最大值为)cm(19600)2048()2090(10)10(V3函数专题之解析式问题待定系数法()fx22(2)fx(2)fx设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。xy()fx例题：解法一、1222xxa2248baca21()212fxxx1c又1,2,12abc解得2()(0)fxaxbxca设(2)(2)fxfx由40ab得第8页共15页解法二、(0)1f41ak1222xx222ka1,12ak221()(2)121212fxxxx()yfx2x得的对称轴为(2)(2)fxfx由2()(2)fxaxk设换元法()fx211(1)(1)1fxx2211(2)()fxxxx例题：根据条件，分别求出函数的解析式三【配凑法（整体代换法）】若已知))((xgf的表达式，欲求)(xf的表达式，用换元法有困难时，（如)(xg不存在反函数）可把)(xg看成一个整体，把右边变为由)(xg组成的式子，再换元求出)(xf的式子。22()(1)12ftttt11tx（1）解：令11tx1t则且2()2fxxx(1)x即换元法2()2fxx(2)x凑配法x1xx用替代式中的12xx又考虑到211()()2fxxxx（2）解：【例题】已知f(x-1)=2x-4x，解方程f(x+1)=0解1：f(x-1)==2)1(x-2(x-1)-3，∴f(x)=2x-2x-3f(x+1)=2)1(x-2(x+1)-3=2x-4，∴2x-4=0，x=±2解2：f(x-1)=2x-4x，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=2)2(x-4(x+2)=2x-4，∴2x-4=0