导数知识点归纳和练习

一、相关概念1.导数的概念：f（x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。注意：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x在x0处的改变量，0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。3.导数的物理意义若物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s（t）。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。二、导数的运算1．基本函数的导数公式:①0;C（C为常数）②1;nnxnx③(sin)cosxx;④(cos)sinxx;⑤();xxee⑥()lnxxaaa;⑦;⑧1lglogaaoxex.2．导数的运算法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，1lnxx即：(.)'''vuvu法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uvvuuv法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu2''vuvvu（v0）。3.复合函数的导数形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X=y＇|U·u＇|X或者[()]()*()fxfx.三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数)(xfy在某个区间（a，b）可导，如果'f)(x0，则)(xf在此区间上为增函数；如果'f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有'f0)(x，则)(xf为常数。2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3．最值：在区间[a，b]上连续的函数f)(x在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如3(),(1,1)fxxx。（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。四、定积分1.概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函nif1＝数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即badxxf)(＝ninf1lim(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：dx0＝C；＝＋C（m∈Q，m≠－1）；dx＝ln＋C；＝xe＋C；dxax＝aaxln＋C；xdxcos＝sinx＋C；xdxsin＝－cosx＋C（表中C均为常数）。2.定积分的性质①babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）；②；③（其中a＜c＜b。3.定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b（ab），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（ab）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝babadxxfdxxf)()(21。4.牛顿——布莱尼茨公式如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F’(x)=f(x),则badxxf)(dxxm111mxmx1xdxexbababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(bacabcdxxfdxxfdxxf)()()()bafxdxFbFa()()()【练习题】题型1：导数的基本运算【例1】（1）求)11(32xxxxy的导数；（2）求)11)(1(xxy的导数；（3）求2cos2sinxxxy的导数；（4）求y=xxsin2的导数；（5）求y＝xxxxx9532的导数。解析：（1）2311xxy,.2332'xxy（2）先化简,2121111xxxxxxy.112121212321'xxxxy（3）先使用三角公式进行化简.xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21''''xxxxxy（4）y’=xxxxx222sin)'(sin*sin)'(=xxxxx22sincossin2；（5）y＝233x－x＋５－219xy’＝３*（x23）＇－x＇＋５＇－９21(x）＇＝３*2321x－１＋０－９*（－21）23x＝1)11(292xx。题型2：导数的几何意义【例2】已经曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)。（1）求在点A处的切线方程？（2）求过点A的切线方程？（3）若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直线y=11x－1，则Q点坐标为____________,切线方程为_____________________思考：导数不存在时，切线方程为什么？【例3】（06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A．430xyB．450xyC．430xyD．430xy【例4】（06全国II）过点（－1，0）作抛物线21yxx的切线，则其中一条切线为（）（A）220xy（B）330xy（C）10xy（D）10xy解析：（1）与直线480xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1，1)处导数为4，此点的切线为430xy，故选A；（2）21yx，设切点坐标为00(,)xy，则切线的斜率为201x，且20001yxx，于是切线方程为200001(21)()yxxxxx，因为点（－1，0）在切线上，可解得0x＝0或－4，代入可验正D正确，选D。题型3：借助导数处理单调性、极值和最值【例5】（06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）fx（）0，则必有（）A．f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C．f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）【例6】（06天津卷）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例7】（06全国卷I）已知函数11axxfxex。（Ⅰ）设0a，讨论yfx的单调性；（Ⅱ）若对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围。4yxl480xyl解析：（1）依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，＋）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（－，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故选C；（2）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，函数)(xf在开区间),(ba内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。（3）：(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f'(x)=ax2+2－a(1－x)2e－ax。(ⅰ)当a=2时,f'(x)=2x2(1－x)2e－2x,f'(x)在(－∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(－∞,1),(1,+∞).为增函数；(ⅱ)当0a2时,f'(x)0,f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数.；(ⅲ)当a2时,0a－2a1,令f'(x)=0,解得x1=－a－2a,x2=a－2a；当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表:x(－∞,－a－2a)(－a－2a,a－2a)(a－2a,1)(1,+∞)f'(x)＋－＋＋f(x)↗↘↗↗f(x)在(－∞,－a－2a),(a－2a,1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(－a－2a,a－2a)为减函数。(Ⅱ)(ⅰ)当0a≤2时,由(Ⅰ)知:对任意x∈(0,1)恒有f(x)f(0)=1；(ⅱ)当a2时,取x0=12a－2a∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x0)f(0)=1；(ⅲ)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有1+x1－x1且e－ax≥1，得：f(x)=1+x1－xe－ax≥1+x1－x1.综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)1。【例8】（06浙江卷）32()32fxxx在区间1,1上的最大值是（）(A)－2(B)0(C)2(D)4【例9】（06山东卷）设函数f(x)=3223(1)1,1.xaxa其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。解析：（1）2()363(2)fxxxxx，令()0fx可得x＝0或2（2舍去），当－1x0时，()fx0，当0x1时，()fx0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。选C；（2）由已知得'()6(1)fxxxa，令'()0fx，解得120,1xxa。（Ⅰ）当1a时，'2()6fxx，()fx在(,)上单调递增；当1a时，'()61fxxxa，'(),()fxfx随x的变化情况如下表：x(,0)0(0,1)a1a(1,)a'()fx+00()fx极大值极小值从上表可知，函数()fx在(,0)上单调递增；在(0,1)a上单调递减；在(1,)a上单调递增。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a时，函数()fx没有极值；当1a时，函数()fx在0x处取得极大值，在1xa处取得极小值31(1)a。