圆锥曲线定点、定直线、定值问题

完美WORD格式.整理.专业资料分享.定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab3,1acac，22,1,3acb221.43xy(II)设1122(,),(,)AxyBxy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0mkkm，22340km.212122284(3),.3434mkmxxxxkk22221212121223(4)()()().34mkyykxmkxmkxxmkxxmk以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk，1212122yyxx，(最好是用向量点乘来)1212122()40yyxxxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，2271640mmkk，解得1222,7kmkm，且满足22340km.当2mk时，:(2)lykx，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km时，2:()7lykx，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).72、已知椭圆C的离心率3e2，长轴的左右端点分别为1A2,0，2A2,0。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线xmy1与椭圆C交于P、Q两点，直线1AP与2AQ交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。完美WORD格式.整理.专业资料分享.解法一：（Ⅰ）设椭圆C的方程为2222xy1ab0ab。…………………1分∵a2，c3ea2，∴c3，222bac1。………………4分∴椭圆C的方程为222xy14。………………………………………5分（Ⅱ）取m0,得33P1,,Q1,22，直线1AP的方程是33yx,63直线2AQ的方程是3yx3,2交点为1S4,3.…………7分,若33P1,,Q1,22，由对称性可知交点为2S4,3.若点S在同一条直线上，则直线只能为:x4。…………………8分以下证明对于任意的m,直线1AP与直线2AQ的交点S均在直线:x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4y2my30，记1122Px,y,Qx,y，则1212222m3yy,yym4m4。…………9分设1AP与交于点00S(4,y),由011yy,42x2得1016yy.x2设2AQ与交于点00S(4,y),由022yy,42x2得2022yy.x2………101200126y2yyyx2x21221126ymy12ymy3x2x21212124myy6yyx2x2221212m12mm4m40x2x2，……12分∴00yy，即0S与0S重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。13分解法二：（Ⅱ）取m0,得33P1,,Q1,22，直线1AP的方程是33yx,63直线2AQ的方程是3yx3,2交点为1S4,3.…………………………………………7分取m1,得83P,,Q0,155，直线1AP的方程是11yx,63直线2AQ的方程是1yx1,2交点为2S4,1.∴若交点S在同一条直线上，则直线只能为:x4。……………8分完美WORD格式.整理.专业资料分享.以下证明对于任意的m,直线1AP与直线2AQ的交点S均在直线:x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4y2my30，记1122Px,y,Qx,y，则1212222m3yy,yym4m4。………………9分1AP的方程是11yyx2,x22AQ的方程是22yyx2,x2消去y,得1212yyx2x2x2x2…①以下用分析法证明x4时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明12126y2y,x2x2即证12213ymy1ymy3,即证12122myy3yy.………………②∵1212226m6m2myy3yy0,m4m4∴②式恒成立。这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。解法三：（Ⅱ）由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4y2my30。记1122Px,y,Qx,y，则1212222m3yy,yym4m4。……………6分1AP的方程是11yyx2,x22AQ的方程是22yyx2,x2……7分由1122yyx2,x2yyx2,x2得1212yyx2x2,x2x2…………………9分即21122112yx2yx2x2yx2yx221122112ymy3ymy12ymy3ymy11221212myy3yy23yy112211232m2m3yym4m424.2m3yym4………………………………12分这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。………………13分3、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21，离心率为2e2﹒（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点1,0作直线交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，MPMQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由﹒完美WORD格式.整理.专业资料分享.解：（I）设椭圆E的方程为2222xy1ab,由已知得：ac21c2a2。。。。。2分a2c1222bac1椭圆E的方程为22xy12。。。。3分（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设1122P(x,y),Q(x,y)，则：11221212MP(xm,y),MQ(xm,y),MPMQ(xm)(xm)yy2121212xxm(xx)myy。。。。。5分①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，则由22xy12yk(x1)得222x2k(x1)202222(2k1)x4kx(2k2)0221212224k2k2xx,xx2k12k17分222121212122kyyk(x1)(x1)k[xx(xx)1]2k1所以22222222k24kkMPMQmm2k12k12k12222(2m4m1)k(m2)2k19分对于任意的k值，MPMQ为定值，所以222m4m12(m2)，得5m4，所以57M(,0),MPMQ416；11分②当直线l的斜率不存在时，直线1212121l:x1,xx2,xx1,yy2由5m4得7MPMQ16综上述①②知，符合条件的点M存在，起坐标为5(,0)4﹒13分法二：假设存在点M(m,0)，又设1122P(x,y),Q(x,y),则：1122MP(xm,y),MQ(xm,y)1212MPMQ(xm)(xm)yy=2121212xxm(xx)myy….5分①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为xty1，由22xy12xty1得22(t2)y2ty101212222t1yy,yyt2t27分222212122121222t2tt22t2xx(ty1)(ty1)tyyt(yy)1t2t2221212222t2t44xxt(yy)2t2t2222222t24m1MPMQmt2t2t22222(m2)t2m4m1t29分设MPMQ则2222(m2)t2m4m1t22222222(m2)t2m4m1(t2)(m2)t2m4m12022m202m4m1205m47165M(,0)411分完美WORD格式.整理.专业资料分享.②当直线l的斜率为0时，直线l:y0，由5M(,0)4得：55257MPMQ(2)(2)2441616综上述①②知，符合条件的点M存在，其坐标为5(,0)4。。。。13分4、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点，离心率25e，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。（I）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(,0)Mm是线段OF上的一个动点，且()MAMBAB，求m的取值范围；（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：（I）设椭圆方程为22221(0)xyabab，由题意知1b2222255abaa故椭圆方程为2215xy（Ⅱ）由（I）得(2,0)F，所以02m，设l的方程为(2)ykx（0k）代入2215xy，得2222(51)202050kxkxk设1122(,),(,),AxyBxy则2212122220205,5151kkxxxxkk,12121212(4),()yykxxyykxx112212122121(,)(,)(2,),(,)MAMBxmyxmyxxmyyABxxyy12212112(),()0,(2)()()()0MAMBABMAMBABxxmxxyyyy2222220420,(85)05151kkmmkmkk由280,0855mkmm，当805m时，有()MAMBAB成立。（Ⅲ）在x轴上存在定点5(,0)2N，使得C、B、N三点共线。依题意知11(,)Cxy，直线BC的方程为211121()yyyyxxxx，令0y，则121122112121()yxxyxyxxxyyyyl的方程为(2),ykxA、B在直线l上，1221121211221212(1)(1)22()(2),(2)()4()4kxxkxxkxxkxxykxykxxkxxkkxxk222222205202255151202451kkkkkkkkkk在x轴上存在定点5(,0)2N，使得CBN三点共线。解法二：（Ⅱ）由（I）得(2,0)F，所以02m。设l的方程为(2)(0),ykxk代入2215xy，得2222(51)202050kxkk