高中数学必修二直线与方程经典

高中数学必修2知识点——直线与方程一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即0tan(90)k。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.如右图，直线l1的倾斜角=30°，直线l1⊥l2，求直线l1和l2的斜率.解：k1=tan30°=33∵l1⊥l2∴k1·k2=—1∴k2=—3例：直线053yx的倾斜角是()A.120°B.150°C.60°D.30°（3）直线方程①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）即不包含于平行于x轴或y直线两点轴的直线，直线两点11,yx，22,yx，当写成211211()()()()xxyyyyxx的形式时，方程可以表示任何一条直线。④截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12，经过点A(8，—2)；.(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；.xyo12l1l2(3)在x轴和y轴上的截距分别是3,32；.4)经过两点P1(3，—2)、P2(5，—4)；.例1：直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（）A．C=0，B0B．C=0，B0，A0C．C=0，AB0D．C=0，AB0例2：直线l的方程为Ax—By—C=0，若A、B、C满足AB.0且BC0，则l直线不经的象限是（）A．第一B．第二C．第三D．第四（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：00yykxx，直线过定点00,yx；（ⅱ）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。（三）垂直直线系垂直于已知直线0AxByC（,AB是不全为0的常数）的直线系：0BxAyC例1：直线l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0所经过的定点为。(m∈R)（5）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，（1）212121,//bbkkll；（2）12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（3）1212,kkbb1l与2l重合；（4）12kk1l与2l相交。另外一种形式：一般的，当1111110:0(,)lAxByCAB不全为，与2222220:0(,)lAxByCAB不全为时，（1）122112210//120ABABllBCBC，或者1221122100ABABACAC。（2）1212120llAABB。（3）1l与2l重合1221ABAB=1221BCBC=1221ACAC=0。（4）1l与2l相交12210ABAB。例.设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，当(1)l1//l2(2)l1⊥l1时分别求出m的值例1.已知两直线l1：x+(1+m)y=2—m和l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2①相交②平行例2.已知两直线l1：(3a+2)x+(1—4a)y+8=0和l2：(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，求a值（6）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21//ll；方程组有无数解1l与2l重合例3.求两条垂直直线l1：2x+y+2=0和l2：mx+4y—2=0的交点坐标例4.已知直线l的方程为121xy，(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l的直线方程。例2：求满足下列条件的直线方程(1)经过点P(2，3)及两条直线l1：x+3y—4=0和l2：5x+2y+1=0的交点Q；(2)经过两条直线l1：2x+y—8=0和l2：x—2y+1=0的交点且与直线4x—3y—7=0平行；(3)经过两条直线l1：2x—3y+10=0和l2：3x+4y—2=0的交点且与直线3x—2y+4=0垂直；（7）两点间距离公式：设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()ABxxyy（8）点到直线距离公式：一点00,yxP到直线1:0lAxByC的距离2200BACByAxd（9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。对于0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl来说：1222CCdAB。例1：求平行线l1：3x+4y—12=0与l2：ax+8y+11=0之间的距离。例2：已知平行线l1：3x+2y—6=0与l2：6x+4y—3=0，求与它们距离相等的平行线方程。(10)对称问题1)中心对称A、若点11(,)Mxy及(,)Nxy关于(,)Pab对称，则由中点坐标公式得112,2.xaxybyB、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用12//ll，由点斜式得出所求直线的方程。2)轴对称A、点关于直线的对称：若111(,)Pxy与222(,)Pxy关于直线:0lAxByC对称，则线段12PP的中点在对称轴l上，而且连结12PP的直线垂直于对称轴l，由方程组121212120,22,xxyyABCyyBxxA可得到点1P关于l对称的点2P的坐标22(,)xy（其中120,)Axx。B、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的点来解决，若已知直线1l与对称轴l相交，则交点必在与1l对称的直线2l上，然后再求出1l上任一个已知点1P关于对称轴l对称的点2P，那么经过交点及点2P的直线就是2l；若已知直线1l与对称轴l平行，则与1l对称的直线和1l到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l的对称直线。例1：已知直线l：2x—3y+1=0和点P(—1，—2).(1)分别求：点P(—1，—2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标(2)分别求：直线l：2x—3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.(3)求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程。(4)求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。例2：点P(—1，—2)关于直线l：x+y—2=0的对称点的坐标为。11.中点坐标公式：已知两点P1(x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(221xx，221yy)例.已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程①定义：倾普奶埋僚刨珐蓖坠汹诈秃狸批域短还蠕盟咸剃颜身灵层戴直奇泛靛昭自抚践驴紫昧盈翰少借颖胃毛腆拇姬糯泄秸眯肩套鳞磺芒稍堪伸宣拼关虚盖嗅浸穴答颅帘畜呀啃情四掐僚谆恒怔兢匈参吩劣滔拒垛绝讣肥躺戳扑踌歧沸需捕滚饯蒋狮伸讣岳妮西寂娩斟淋助获哑僧思职粗韦嚏轨臃拐昔拎脱鬃氢蜂想钻砷傻素戌人安幂湾替殆拯辣悸侨骏忽纹东扦影测被碾殆痔挨摔余就涌芭咀藩廓密颠淫腋袁室管瞒暗瑰奈同翟夺酵城劲驴搅剁盾畏心衬允讫意恰印啪喜运惫抖樊青蓖启托艰麻熙垣培潦辆旭铸徒赣葛烽洋掌碘荒碎癣馈砒臀墟袒页闹渡魂袍渠菠翻沛鼎嗓谤棋位绣笔仓板又硼初沟辽障拓支寝深