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2018-2019学年河北省邢台市高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解二次方程，化简集合A，B，进而求并集即可.【详解】因为，，所以.故选：A【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题.2．若角的终边上有一点，则（）A．3B．C．1D．【答案】D【解析】利用三角函数定义可得a的方程，解之即可.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.3．已知，，则角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】利用三角函数式的符号推断角的终边所在象限.【详解】因为，所以角在第二或第三象限，又，所以角在第三或第四象限，故角在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4．已知幂函数的图像经过点，则（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】设，点在图像上，解得a值，进而得到结果.【详解】设，则，故，故选：A【点睛】本题考查幂函数的表达式，考查计算能力，属于基础题.5．设向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则（）A．3B．C．-3D．【答案】D【解析】利用向量共线可得，从而可得值.【详解】因为与共线，所以存在，使得，即，故，，解得.故选：D【点睛】本题考查平面向量共线的等价条件，考查函数与方程思想，属于基础题.6．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量（束）与销售单价（元）的关系为，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（）A．15元B．13元C．11元D．10元【答案】B【解析】设每天获利元，可得，结合二次函数的图像与性质求最值即可.【详解】设每天获利元，则由，，得，故当时，每天获利最大.故选：B【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.7．设函数，则下列结论不正确的是（）A．的值域为B．不是单调函数C．是奇函数D．是周期函数【答案】C【解析】利用分段函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】选项显然正确；因为与的奇偶性相同，所以，故是偶函数，选项不正确；是以2为周期的周期函数，D选项正确.故选：C【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，涉及到函数的值域，函数的单调性，奇偶性，周期性，考查逻辑推理能力与数形结合能力.8．已知，，，则向量在向量方向上的投影是（）A．4B．C．D．【答案】C【解析】求出的坐标，利用即可得到结果.【详解】因为，，，，所以.故选：C【点睛】本题考查了平面向量投影的定义，解题时应根据定义代入计算即可，是基础题．9．函数的部分图像如图所示，以下说法：①的单调递减区间是，；②的最小正周期是4；③的图像关于直线对称；④的图像可由函数的图像向左平移一个单位长度得到.正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由图像可知的周期为8，可得，进而得到，结合正弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】由图像可知的周期为8，故，，将点代入解析式，得，故，所以，因为，所以，所以，故①②错，③④正确.故选：B【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.10．设，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】构造函数，利用单调性比较大小即可.【详解】构造函数，则在上是增函数，又，，，故.故选：A【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.11．已知奇函数的图像关于点对称，当时，，则当时，的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，,结合奇偶性与对称性即可得到结果.【详解】因为奇函数的图像关于点对称，所以，且，所以，故是以为周期的函数.当时，，故因为是周期为的奇函数，所以故，即，故选：C【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.12．在中，，，，若为的外心（即三角形外接圆的圆心），且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设分别为的中点，连接，则，，从而得到，坐标化构建m，n的方程组，解之即可.【详解】设分别为的中点，连接，则，，又，即，同理，因为，所以，又，所以，联立方程组，解得，所以.故选：D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．已知半径为2的扇形的弦长，则该扇形的弧长是__________．【答案】【解析】利用勾股定理可知圆心角为直角，结合弧长公式得到结果.【详解】在中，，故，故弧长故答案为：【点睛】本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题.14．函数，的最大值为__________．【答案】3【解析】利用函数的单调性即可得到最大值.【详解】因为在上单调递减，所以故答案为：3【点睛】本题考查一次分式函数的图像与性质，考查单调性的应用，考查常数分离法，属于基础题.15．已知，，则__________．【答案】【解析】利用两角差正切公式即可得到结果.【详解】,故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.16．若函数恰有2个零点，则的取值范围是__________．【答案】或写成【解析】对a分类讨论，结合指数函数与二次函数的图像与性质进行分析即可.【详解】①当时，因为当时，，故无零点，所以，当时，有2个零点，，，故；②当时，因为当时，有1个零点，所以当时，只能有1个零点，，故，解得；③当时，无零点综上，实数的取值范围是.故答案为：【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题17．已知集合是函数的定义域，集合.（1）当时，求；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)当时,化简集合A与B，进而求并集即可；（2）由可知，转化为不等式组，即可得到结果.【详解】（1）依题意得：，即，解得，即当时，所以（2）集合由，得，故，解得.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查集合的运算以及不等式的解法，考查计算能力，是一道基础题．18．已知为第二象限角，.（1）化简：；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果；（2）利用同角关系即可得到的值.【详解】（1）因为所以所以（2）因为，所以，代入得，因为为第二象限角，所以，故【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，考查诱导公式与同角基本关系式，考查计算能力.19．设单位向量的夹角是，且，.（1）求；（2）求与的夹角.【答案】（1）（2）【解析】(1)利用结合数量积定义即可得到结果；（2）利用数量积的定义与运算律可得，从而得到结果.【详解】（1）因为为单位向量，所以，因为即，所以，解得：（2）因为，所以，即与的夹角为.【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.20．已知函数的图像经过点.（1）求的值以及的单调递减区间；（2）当时，求使成立的的取值集合.【答案】（1）a=1,的单调递减区间为；（2）【解析】（1）根据函数f（x）的图象过点求出a的值，再化f（x）为正弦型函数，求出它的单调递减区间；(2)由，得,结合正弦函数图像，解三角不等式即可.【详解】解：（1）因为函数的图像经过点，所以，解得又,由，得故的单调递减区间为（2）由，得当时，故，解得：故使成立的的取值集合为.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题．21．设，，.（1）当时，求的最大值和最小值；（2）已知，且当时，求的值.【答案】（1）最大值1，最小值（2）【解析】（1）利用数量积运算性质、诱导公式与两角和的正弦公式、正弦函数的图像与性质即可得出的最大值和最小值；（2）由题意可得，进而得到从而得到结果．【详解】（1）,,,当时，，所以当，即时，的最大值为当，即时，的最小值为（2）因为，所以，所以两边平方，得，所以又，所以，，又，所以所以,所以.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，三角函数的恒等变形，考查转化思想，是一道中档题．22．已知函数（且）.（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）当时，若不等式对于恒成立，求的最大值.【答案】（1）奇函数（2）详见解析（3）1【解析】（1）利用奇偶性的定义判断即可；（2）利用单调性的定义判断即可；（3）利用函数性质化抽象不等式为对恒成立，然后变量分离，转求最值即可.【详解】（1）因为函数的定义域为，所以所以函数为奇函数.（2）当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，证明如下：任取，则因为，所以，，所以所以当时，，，所以，故函数在上是减函数.所以当时，，所以，所以，故函数在上是增函数.（3）由（1）知，是奇函数，，即.当时，由（2）知，在上是减函数，从而在上是减函数，故对恒成立，即对恒成立.因为在上是减函数，所以的值域为.所以，故实数的最大值为1.【点睛】本题主要考查了对数型函数的奇偶性和单调性的判断，要注意对底数的讨论，总体来说本题很基础、很典型，是不得不练的好题．