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第1页（共35页）一．选择题（共5小题）1．已知下列语句：（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（3）三个角对应相等的两个三角形全等；（4）两个直角三角形全等．其中正确语句的个数为（）A．0B．1C．2D．32．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（）A．8B．5C．3D．24．如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10B．6C．8D．55．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（）第2页（共35页）A．21B．18C．13D．15二．填空题（共10小题）6．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ=cm．7．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动秒时，△DEB与△BCA全等．8．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．第3页（共35页）9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为．11．如图，在直角△ABC中，已知∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长是cm．12．如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，则BF=．13．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于．第4页（共35页）14．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．15．如图，在△ABC中，AB=AC=7，BC=5，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是．三．解答题（共11小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．第5页（共35页）17．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．18．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．19．如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BE平分∠ABC，AC=9cm，求CE的长．第6页（共35页）20．如图所示，AB=AC，∠A=120°，点E在AB边上，EF垂直平分AB，交BC于F，EG⊥BC，垂足为G，若GF=4，求CF的长．21．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．22．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=12厘米，AB的值是等式x3﹣1=215中的x的值．点P从点A开始沿AB边向B点以1.5厘米∕秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2厘米∕秒的速度移动．①求AB的长度﹙厘米﹚．②如果P、Q分别从A、B两点同时出发，问几秒钟后，△PBQ是等腰三角形并求出此时这个三角形的面积．23．已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，点F在AD上，BE=EC，AF=FD．求证：EF⊥AD．第7页（共35页）24．如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．25．如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF．（1）求证：BE⊥AC；（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值．第8页（共35页）第9页（共35页）2017年02月16日精锐教育4的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2016秋•东宝区校级期中）已知下列语句：（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（3）三个角对应相等的两个三角形全等；（4）两个直角三角形全等．其中正确语句的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据全等三角形的判定定理HL、SAS、AAS、ASA分别进行分析即可．【解答】解：（1）有两个锐角相等的直角三角形全等，说法错误；（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；（3）三个角对应相等的两个三角形全等，说法错误；（4）两个直角三角形全等，说法错误．故选：A．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形全等的判定定理．2．（2015秋•武汉校级期中）对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择即可．【解答】解：①两条直角边对应相等，根据“SAS”，正确；②斜边和一锐角对应相等，根据“AAS”，正确；③斜边和一直角边对应相等，根据“HL”，正确；④直角边和一锐角对应相等，根据“ASA”或“AAS”，正确；第10页（共35页）故选D．【点评】本题考查了直角三角形的判定定理，除HL外，一般三角形的全等有四种方法，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．3．（2014春•栖霞市期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（）A．8B．5C．3D．2【分析】根据已知条件，观察图形得∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，然后证△AEC≌△CDB后求解．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∴∠CAE=∠BCD，又∵∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC，∴△AEC≌△CDB．∴CE=BD=2，CD=AE=5，∴ED=CD﹣CE=5﹣2=3（cm）．故选C．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，是解题的关键．4．（2016春•罗湖区期末）如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）第11页（共35页）A．10B．6C．8D．5【分析】由等腰三角形的性质证得BD=DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．【解答】解：∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵E为AC的中点，∴DE=AB=×10=5，故选D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线是解决问题的关键．5．（2016秋•苏州期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（）A．21B．18C．13D．15【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答．【解答】解：∵CD⊥AB，F为BC的中点，∴DF=BC=×8=4，∵BE⊥AC，F为BC的中点，∴EF=BC=×8=4，∴△DEF的周长=DE+EF+DF=5+4+4=13．故选C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．第12页（共35页）二．填空题（共10小题）6．（2016秋•瑞安市校级期中）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ=cm．【分析】根据直角三角形的全等的判定解答即可．【解答】解：要使△AFC与△ABQ全等，则应满足，∵AQ：AB=3：4，AQ=AP，PC=4cm，∴AQ=．故答案为：．【点评】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据SAS证明三角形的全等．7．（2015秋•沛县校级月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动0，2，6，8秒时，△DEB与△BCA全等．【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AC=BE进行计算即可．第13页（共35页）【解答】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8﹣4=4，∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；②当E在BN上，AC=BE时，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8+4=12，∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，AE=8+8=16，点E的运动时间为16÷2=8（秒），故答案为：0，2，6，8．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角