球与空间几何体

球与空间几何体考点一：球的内接柱体设柱体上底的外心为1O，下底的外心为2O，则有柱体的外接球球心O为21OO的中点。若柱体底面外接圆半径为r，高为h，则外接球半径R满足：2222hrR；由已学知识可总结出：（1）边长为a的正三角形的外接圆半径ar33；（2）长为a，宽为b的的矩形的外接圆半径222bar（3）斜边为c的直角三角形的外接圆半径2cr注：球的内接长方体满足：球的直径于长方体的大对角线相等考点二：球的内接椎体1.球的内接直三棱锥，直四棱锥（有一条侧棱与底面垂直）：与长方体相同，是长方体的部分顶点构成的椎体2.球的内接正三棱锥，正四棱锥：设顶点为P，底面外接圆圆心1O，则有正棱锥外接球球心在1PO上，若正棱锥底面外接圆半径为r，高为h，则外接球半径R满足：222)(RhrR或hlR22（l为侧棱）考点三：多面体的内切球1多边形内切圆圆心把多边形分成多个高相等的三角形，由面积法可知多边形的内切圆半径r满足：PSr2（S为多边形面积，P为多边形周长）2多面体内切球球心把多面体分成多个高相等的椎体，由体积法可知多面体的内切求半径r满足：SVr3（V为多面体体积，S为多面体表面积）考点四：圆锥内切球与外接球1圆锥的外接球：与正棱锥的外接球相同2圆锥的内切球：圆锥的内切球半径即为圆锥截面三角形的内切圆半径，设圆锥的底面半径为r，高为h，则内切球半径R满足：22222hrrhrRPSrR小结：1球的内接柱体，直椎体：2222hrR2球的内接正棱锥，内接圆锥：hlR22（l为侧棱）3多面体的内切球：SVR34圆锥的内切球：rhrhrR2222典型例题例1一个球的外切正方体的全面积为6，则球的体积为（）A34B86C6D66答案:C解析:多面体的内切球，所以球的半径SVR3，正方体的棱长为1，则1V，所以2163R，所以球的体积为6)21(343，故选C例2某长方体的三视图的面积分别为20，15，12，求该长方体的外接球的表面积答案：50解析：设长方体的三边分别为cba,,，则有534121520cbaabbcac，所以外接球半径为：2252222cbaR，所以50)225(42S例3某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______答案：33解析：边长为2的正三角形的内切圆半径为336322PSr，则内球球的半径也为33例4一三棱锥ABCP，PCPBPA,,两两垂直，且3,3,1PCPBPA，则该三棱锥外接球的表面积是（）A16B64C332D3252答案：A解析：易知，CBAP,,,是长方体中相邻四个顶点构成的棱锥，所以外接球半径：22961R，所以1644S，选A例5一底面半径为r，母线长为r3的圆锥有一内接正方体，求该正方体的表面积答案：2316r解析：由题知，圆锥的高为r22，设正方体的棱长为a，可知：rarar2222，所以：raaar322222，所以，正方体的表面积为：223166ra例6若半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积之比为（）A12:5B6:5C3:2D4:3答案：D解析：设半球的半径为R，正方体的棱长为a，则有222223)22(aaaR，半球的表面积：22213421RRRS，正方体的表面积226aS，所以：4322363222221aaaRSS，故选D例7某圆柱的底面半径为2，里面有一定的水，现把圆柱横着放，水面的高度变为1，求圆柱里的水的体积与圆柱的体积比答案：4334解析：已知横着放时，底面是一个弓形，所以3431S，所以体积比为：4334例8正四面体外接球与内切球的半径之比为_______答案：3解析：设正四面体半径为a，则底面积为243a，高为a36，所以内切球半径aaaSVR126336433231，外接球半径aaahlR463622222，所以：3126:46:12aaRR练习1已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则多面体的体积为（）A18B12C6D12答案：C解析：5cos)54cos(54cos；52cos)53cos(53cos，所以内切球半径满足631833RSVSVR，选C2用与球心距离为1的平面去截球面，所得截面积为，则球的体积为________答案：328解析：截面半径为1，所以球的半径2R，球的体积为32822343.64个直径都是4a的球，记它的体积为1V，表面积之和为1S，1个直径都是a的球，记它的体积为2V，表面积之和为2S，则（）A2121,SSVVB2121,SSVVC2121,SSVVD2121,SSVV答案：C解析：左221331464)8(4;664)8(34aaSaaV，221331)2(4;6)2(34aaSaaV，所以2121,SSVV，选C4高与底面直径之比为1:2的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500，则球的体积为（）A3500B32500C332500D312500答案：C解析：设圆柱底面半径为r，则高为r4，20,550042hrrr，所以有：55125)2(222RhrR，所以球的体积352500562534V，选C5求半径为2的球的内接正四面体的体积答案27364解析：设正四面体的棱长为a，则底面外接圆半径ar33，高arah3622，所以外接球半径满足：aaahlR46362222，所以364a，2736427666412212236433132aaaV