误差理论与数据处理习题答案1-3章

第一章习题及参考答案1-1.测得某三角块的三个角度之和为180°00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差。【解】绝对误差＝测得值－真值＝180°00’02”－180°＝2”相对误差＝绝对误差／真值＝2”/（180×60×60”）=3.086×10-4%1-2.在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm，已知其最大绝对误差为1μm，试问该被测件的真实长度为多少？【解】绝对误差＝测得值－真值，即：∆L＝L－L0已知：L＝50，∆L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－∆L＝50－0.001＝49.999（mm）1-3.用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（Pa）。1-4.在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20μm，试求其最大相对误差。【解】因∆L＝L－L0求得真值：L0＝L－∆L＝2310－0.020＝2309.98（mm）。故：最大相对误差＝0.020／2309.98＝8.66×10-4%＝0.000866%1-5.使用凯特摆时，g由公式g=4π2（h1+h2）/T2给定。今测出长度（h1+h2）为（1.04230±0.00005）m，振动时间T为（2.0480±0.0005）s。试求g及其最大相对误差。如果（h1+h2）测出为（1.04220±0.0005）m，为了使g的误差能小于0.001m/s2，T的测量必须精确到多少？【解】测得（h1+h2）的平均值为1.04230（m），T的平均值为2.0480（s）。由)(42122hhTg+=π得：81053.904230.10480.2422=×=πg（m/s2）当（h1+h2）有微小变化)(21hh+∆、T有ΔT变化时，g的变化量为：)](2)([4)(8)(4)()(212122213221222121hhTThhTThhThhTTTghhhhgg+∆−+∆=∆+−+∆=∆∂∂++∆+∂∂=∆πππg的最大相对误差为：TThhhhhhThhTThhTgg∆−++∆=++∆−+∆=∆2)()(4)](2)([(421212122212122ππ1%054.0%100]0480.2)0005.0(21.042300.00005[±≈×±×−±=如果（h1+h2）测出为（1.04220±0.0005）m，为使g的误差能小于0.001m/s2，即：001.0∆g就是001.0)](2)([4212122+∆−+∆=∆hhTThhTgπ001.004220.10480.220005.00480.2422×∆×−±Tπ00106.001778.10005.0∆−±T求得：)(00055.0sT∆1-6.检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？【解】引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：所以该电压表合格。22%100mmmUrU∆===由于：2%2.5%1-7.为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？【答】我国电工仪表、压力表的准确度等级是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大相对误差为：%sxxxxrmmx×±=∆=式中：Δxm为仪表某标称量程内的最大绝对误差，x为被测量，xm为标称量程上限。选定仪表后，被测量x的值越接近于标称量程上限，测量的相对误差rx越小，测量越准确。1-8.用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。测得值各为50.004mm，80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。【解】两种测量方法进行的测量绝对误差分别为：δ1＝50.004－50＝0.004（mm）；δ2＝80.006－80＝0.006（mm）两种测量方法的相对误差分别为：δ1／L1＝0.004/50=0.008%和δ2／L2＝0.006/80=0.0075%显然，测量L2尺寸的方法测量精度高些。21-9.多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km；在射击场中，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高。【解】两种射击的射击偏差即绝对误差分别为：δ1＝0.1（km）；δ2＝2（cm）＝2×10-2（m）两种射击的相对误差分别为：δ1／L1＝0.1/10000=0.001%和δ2／L2＝2×10-2/50=0.04%多级弹导火箭的射击精度高。1-10.若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为±11μm和±9μm；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm，其测量误差为±12μm，试比较三种测量方法精度的高低。【解】测量长度L1的两种测量方法的测量误差分别为：δ1＝±11（um）；δ2＝±9（um）两种测量方法的相对误差分别为：δ1／L1＝±11um/110mm＝±11/110000＝±0.01%δ2／L1＝±9um/110mm＝±9/110000＝±0.0082%用第三种测量方法的测量误差为：δ3＝±12（um）δ3／L2＝±12um/150mm＝±12/150000＝±0.008%显然，第三种测量方法精度最高。而测量L1时有测量误差±11um的测量方法精度最低。3第二章误差的基本性质与处理习题及参考答案2-1.试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在［－σ2，σ2］中的概率。【解】（1）误差服从正态分布时经变换上式成为：：引入新变量,,2221)2(20)2(22)2(2222σδσδδπσδπσσσσδσσσδtttdedeP====±∫∫−−−84%0.840.41952)2(2)(222)2(022==×=Φ=Φ==±∫−tdtePttπσ（2）误差服从反正弦分布时因反正弦分布的标准差为：2a=σ，所以区间［σ2−，σ2］＝［，］，故a−a111)2(22=−=±∫−δδπσdaPaa（3）误差服从均匀分布时因其标准差为：3a=σ，所以区间［σ2−，σ2］＝［a32−，a32］，故%8282.03222121)2(3232==××==±∫−aadaPaaδσ2-2.测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。【解】①选参考值，计算差值00.2360=x00.236−=∆iixx、0x∆和残差iν∆等列于表中。序号xiΔxiiν2iν1236.450.45+0.020.00042236.370.37-0.060.00363236.510.51+0.080.00644236.340.34-0.090.00815236.390.39-0.040.00166236.480.48+0.050.00257236.470.47+0.040.00168236.400.40-0.030.000943.23600=∆+=xxx43.081810=∆=∆∑=iixx03.081−=∑=iiν0251.0812=∑=iiν1或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得：43.2368181==∑=iixx（g）②计算标准差：用贝塞尔公式计算：0599.0180251.0112=−=−=∑=nniiνσ(g)2-3.用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-2的标准差，并比较之。【解】（1）用别捷尔斯法计算0687.07841.0253.1)1(253.11=××=−×=∑=nnniiνσ(g)（2）用极差法计算8个测量数据的极差为：ωn=43minmaxxxxx−=−=236.51－236.34=0.17，查教材P18表2-4，n=8时dn=2.850596.085.217.0===nndωσ(g)（3）最大误差法计算8个测量数据的最大残差为：09.04max==ννi查教材P19表2-5，n=8时，1/K’n＝0.610549.061.009.0'max=×==niKνσ(g)2-4.测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。【解】①选参考值，计算差值5.1680=x5.168−=∆iixx、0x∆和残差iν等列于表中。序号xiΔxiiν2iν1168.41-0.09-0.0780.0060842168.540.04+0.0520.0027043168.590.09+0.1020.0104044168.40-0.10-0.0880.0077445168.500+0.0120.000144488.16800=∆+=xxx012.051510−=∆=∆∑=iixx051=∑=iiν02708.0512=∑=iiν或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得：488.1685181==∑=iixx（mA）2②计算标准差：用贝塞尔公式计算：0823.01502708.0112=−=−=∑=nniiνσ(mA)［若用别捷尔斯法计算：0930.045332.0253.1)1(253.11=××=−×=∑=nnniiνσ］［用极差法计算：n=5时dn=2.33，0815.033.219.033.240.16859.168==−==nndωσ(mA)］下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据：或然误差：0549.00823.03232=×=≈σρ(mA)；平均误差：06584.00823.05454=×=≈σθ(mA)算术平均值的标准差xσ：037.050823.0===nxσσ算术平均值或然误差R：0247.0037.03232=×=≈XRσ(mA)算术平均值平均误差T：0296.0037.05454=×=≈XTσ(mA)2-5.在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。【解】①求算术平均值x：0015.2050075.1001===∑=nlxnii(mm)②求残余误差：各次测量的残余误差依次为0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。③求测量列单次测量的标准差用贝塞尔公式计算：000255.01510261812=−×=−=−=∑nniiνσ（mm）用别捷尔斯公式计算：000224.0450008.0253.1)1(253.11'=×=−=∑=nnniiνσ（mm）④求算术平均值的标准差000114.05000255.0===nxσσ；0001.05000224.0''===nxσσ⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录3表1正态分布积分表，得置信系数t=2.6。故：单次测量的极限误差：00066.0000663.0000255.06.2lim≈=×=±=σδtx算术平均值的极限误差：0003.00002964.0000114.06.2lim≈=×=±=xxtσδ⑥求得测量结果为：0003.00015.20lim±=±xxδ（mm）2-6.对某工件进行5次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差σ=0.005mm，若要求测量结果的置信概率为95%，试求其置信限。【解】因测量次数n=5，次数比较少，按t分布求置信限（极限误差）。已知：P=95%，故显著度α=1－P＝0.05；而自由度ν＝n－1＝5－1＝4。根据显著度α=0.05和自由度ν查附录表3的t分度表，得置信系数ta=2.78。所以算术平均值的置信限为：