专题21椭圆(解析版)

1专题21椭圆(解析版)易错点1：焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式,知道,,abc之间的大小关系和等量关系：易错点2：椭圆的几何性质易错点3：直线与椭圆的位置关系（1）忽视直线斜率为0或不存在的情况（2）在用椭圆与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.(求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题都在下进行).易错点4：求轨迹方程时,忽视对结论进行验证.题组一：椭圆的定义与焦点三角形1.(2013新课标1)已知圆M：1)1(22yx,圆N：9)1(22yx,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.则C的方程为________【解析】因为圆P与圆M外切并与圆N内切,所以2421=+=+rrPNPM,由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左,右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为：221(2)43xyx+=?2.设圆222150xyx的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E,点E的轨迹方程为_________________【解析】因为|AD|=|AC|,EB//AC,所以∠EBD=∠ACD=∠ADC,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4,由椭圆的定义可知,点E的轨迹是以A(-1,0),B(1,0)为左,右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左,右顶点除外),其方程为：221(0)43xyy+=?3.(20191)已知椭圆C的焦点为1(1,0)F,2(1,0)F,过2F的直线与C交于A,B两点．若22||2||AFFB,1||||ABBF,则C的方程为()2A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy【解析】法1：由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1B中,由余弦定理的推论得22214991cos2233nnnFABnn+-?=鬃,在ΔAF1F2中,由余弦定理得2213442234,32nnnnn+-鬃?=解得,2423,3ana\===,222312,bac\=-=-=221.32xyB+=所求椭圆得方程为，选法2：由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1F2和ΔBF1F2,由余弦定理得2221222144222cos444222cos9nnAFFnnnBFFnì+-鬃?ïí+-鬃?ïî又因为∠AF2F1和∠BF2F1,所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,消去cos∠AF2F1和cos∠BF2F得32n=所以3,2,ab==221.32xyB+=所求椭圆的方程为，选4.(20193)设,为椭圆的两个焦点,为上一点且在第一象限,若△为等腰三角形,则的坐标为．【解析】设M(m,n),m,n0,由题意得26,25,4,3cabcea=====,由于M为C上一点且在第一象限,可得|MF1||MF2|,ΔMF1F2为等腰三角形,可能|MF1|=2c或|MF2|=2c,即有()2268,3,15,68,30,(3,1533mmnmm+===-==-即或即舍去），可得M故答案为()3,151F2F22:13620xyCMC12MFFM35.(2011)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点12,FF在x轴上,离心率为22.过F1的直线交椭圆C于,AB两点,且2ABF的周长为16,那么C的方程为.【解析】由题意可得2222,416,=2ceaabca,解得22=16,8ab,所以椭圆C的方程是221.168xy+=【考点总结与提高】(1)12122(2)PFPFaaFF；·(2)222121242||||cos||||cPFPFPFPF－；(3)12212|||1·sintan|22PFFSPFPFb△.题组二：椭圆的标准方程6.(20171)已知椭圆C：2222=1xyab(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,32),P4(1,32)中恰有三点在椭圆C上,则C的方程是______________.【解析】由于3P,4P两点关于y轴对称,故由题设知C经过3P,4P两点．又由222211134abab知,C不经过点1P,所以点2P在C上．因此222111314bab,解得2241ab．故C的方程为2214xy．7.(20192)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,则p=_____.【解析】由题意可知:23,=82pppp解得，骣琪-=琪桫故选D22(0)ypxp2213xypp48.(20141)已知点A(0,-2),椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32,F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为233,E的方程是____________.【解析】设F(c,0),由条件知,2233,3,,32ccca===得又2222,1abac==-=所以,故椭圆E得方程为2214xy+=【考点总结与提高】要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式,知道,,abc之间的大小关系和等量关系：222,0,0acbabac.题组三：点差法(中点弦问题)9.(20132)过椭圆M：)0(12222babyax右焦点的直线30xy交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为21,M的方程为_________【解析】把右焦点(c,0)代入直线30xy得3=c设112200(,),(,),,)AxyBxyABPxy线段的中点（,即2222112222221,1xyxyabab则200122120011,2OPxyyybkxxayx又,则222ab,联立222222223,6,3abcababc解得.故M的方程式为22163xy．10.(20131)已知椭圆E：)0(12222babyax的右焦点为)03(,F,过点F的直线交椭圆E5于A,B两点.若AB的中点坐标为)11(,,则E的方程为()A．x245＋y236＝1B．x236＋y227＝1C．x227＋y218＝1D．x218＋y29＝1【解析】设1122(,),(,)AxyBxy,即2222112222221,1xyxyabab则22121222121220112312yyxxbbxxayya,则221,2ba则222ab,联立222222223,18,9abcababc解得,故E的方程式为221189xy．11.已知斜率为的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的中点为)0)(,1(mmM,则k的取值范围是_____.【解析】设1122(,),(,)AxyBxy,即222211221,14343xyxy.则1212121233144yyxxkxxyym,因为点M(1,m)在椭圆内部,所以2131,0432mm解得,所以12k．【考点总结与提高】设而不求(点差法-----代点作差法)：处理弦中点问题.步骤如下：①设点A(x1,y1),B(x2,y2)；②作差得212122121yyxxbxxyykAB；③解决问题.题组四：离心率12.(2012)设是椭圆2222:1(0)xyEabab的左,右焦点,P为直线上一点,Δ是底角为的等腰三角形,则E的离心率为_____.kl22143xyC：12FF32ax21FPF306【解析】如图所示,Δ是底角为的等腰三角形,则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=300,所以∠PFA=600,∠F2PF1=300,22322322PFAFacac骣琪==-=-琪桫,又因为1232,232,4cFFccacea==-==所以故13.(20163)已知O为坐标原点,F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为______.【解析】不妨设点F在第一象限,则2,bPca骣琪-琪桫,设直线AE得方程为()ykxa=+,令xc=-,可得()(),,0,Mckacx--=令()0,Eka可得,设OE的中点为H,0,2kaH骣琪琪桫可得,由B,H,M三点共线,可得BHBMkk=,11,23acceaca-===+即可得14.(20142)设1F,2F分别是椭圆222210yxabab的左右焦点,M是C上一点且2MF与x轴垂直,直线1MF与C的另一个交点为N.且直线MN的斜率为34,则C的离心率为_____【解析】把12223,,,4MFbbbaxcyMckaac骣琪==?=琪桫代入椭圆方程可得即，243bac=即,化为212320,01,2eeee+-==即又解得15．(20173已知椭圆2222:1xyCab(0ab)的左,右顶点分别为12,AA,且以线段12AA为直径的圆与直线20bxayab相切,则C的离心率为()21FPF307A．63B．33C．2３D．13【解析】由题意可得,原点到直线的距离22222,3abaabab==+化为所以椭圆C的离心率22613cbeaa==-=,故选A.15已知F1,F2是椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,ΔPF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=1200,则C的离心率为()A．23B．12C．13D．14【解析】直线AP的方程为()3,6yxa=+由∠F1F2P=1200,|PF2|=|F1F2|=2c,则()2,3Pcc代入直线AP的方程得ca4=,故所求椭圆得离心率为41==ace【考点总结与提高】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：(1)求出a,c,代入公式cea.(2)只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式,结合222bac－转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).