最新文档-函数的单调性与极值81362-PPT精品文档

前面，我们学习了导数的概念、几何意义及求导方法，今天开始我们学习导数的应用。我们将利用导数方法（微分法）解决初等数学中大家感到困难的函数单调性的判定、极值、最值问题及曲线图形的描绘问题，并利用导数解决一些生产、生活中的实际经济学问题。具体内容有：1.单调性与极值2.最值方法在实际中的应用3.曲线的凹向、拐点与函数图形的描绘4.经济学中常见的边际与弹性分析第三章导数的应用复习导数的几何意义函数的单调性与图形的关系12a12yoxbbayoxy=f(x)y=g(x)K切=f(x0)f(x)0f(x)0一、函数的单调性§3.2函数的单调性定理1（判别单调性的充分条件）在函数f(x)可导的区间I内：（1）若f(x)0，则函数f(x)单调增加；（2）若f(x)0，则函数f(x)单调减少；xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xfabBA0,0,二、应用举例例1确定函数f(x)=exx1的单调区间.解函数的定义域是(,+)由于f(x)=ex1令f(x)=0得驻点x=0x=0将定义域分成两个部分区间：(,0)和(0,+)在区间(,0)内，f(x)函数单调减少；在区间(0,+)内，f(x)函数单调增加.使f'(x)=0的点x0称为函数f(x)的驻点。确定函数f(x)的单调区间，其解题程序是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f(x)，确定函数的驻点和导数不存在的点，这些点将函数的定义域分成若干个部分区间；（3）在各个部分区间内判别f(x)的符号，从而确定f(x)在相应区间内的单调增减性.例2讨论函数f(x)=的单调区间.32x解函数的定义域是(,+)由于332)(xxf该函数没有驻点，但当x=0时，导数f(x)不存在。x=0将定义域分成两个部分区间：(,0)和(0,+)0,在区间(,0)内，f(x)函数单调减少；在区间(0,+)内，f(x)函数单调增加.0,yxo32xyyxo说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,),(,32xxy32xy2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,),(,3xxy23xy00xyyox3xy列表分析xf'(x)f(x)(1)(1,2)(2,+)2+00+1例3确定函数f(x)=的单调区间.3129223xxx解函数的定义域是(,+)由于12186)(2xxxf)2)(1(6xx令f(x)=0得驻点x1=1,x2=2x1=1和x2=2将定义域(,+)分成三个部分区间：函数f(x)单调增加区间是(,1)和(2,+)单调减少区间是(1,2).12xoy12练习求函数263423xxxy的单调区间。补充例题：证.)1ln(,0成立试证时当xxx),1ln()(xxxf设.1)(xxxf则,0)(),0(,),0[)(xfxf可导，且上连续在上单调增加；在),0[,0)0(f时，当0x,0)0()()1ln(fxfxx).1ln(xx即一、极值的概念y=f(x)yxoabx1x2x3x4f(x3)f(x1)f(x4)f(x2)xx§3.2函数的极值定义:,),()(内有定义在设函数baxf,),(0bax，的一个邻域若存在0x在其中当0xx时,,)()(0xfxf(1)则称为的极大值点,0x)(xf称为函数的极大值;)(0xf,)()(0xfxf(2)则称为的极小值点,0x)(xf称为函数的极小值.)(0xf函数的极大值与极小值统称为函数的极值。函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点。注意:2)极值可能出现在驻点和不可导点。（导数为0或不存在的点）1)函数的极值是函数的局部性质。（极大值未必大于极小值，极小值未必小于极大值）31292)(23xxxxf例如1x为极大点,2)1(f是极大值1)2(f是极小值2x为极小点,12xoy123x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点若函数f(x)在点x0处有极值，且f(x0)存在，则必有f(x0)=0。定理2（极值存在的必要条件）二、极值的判定函数极值点特征：对于可导函数由定理2知，可导函数)(xf的极值点必是)(xf的驻点．反过来,驻点却不一定是)(xf的极值点．如0x是函数3)(xxf的驻点，但不是其极值点．对于连续函数,它的极值点还可能是使导数不存在的点,称这种点为尖点．例如,xxf)(，但0x处导数不存在,但是，0x是它的极小值点．若函数f(x)在点x0的某邻域(x0,x0+)内连续并且可导，（但f(x0)可以不存在），则定理3（判别极值的第一充分条件）(1)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx,有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.xyoxyo0x0x(是极值点情形)xyoxyo0x0x(非极值点情形)如图所示：求可导函数极值的步骤:);()1(xf求导数;0)()2(的根方程求驻点和不可导点，即xf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf.)4(求极值xf'(x)f(x)(0)(0,1)(1,+)1+00+无极值极大值0由表可知例1求函数f(x)=的极值.432132xx解函数f(x)的连续区间是(,+)由于3222)(xxxf)1(22xx令f(x)=0得驻点x1=0,x2=1x1=0和x2=1将区间(,+)分成三个部分区间：(0)(0,1)(1,+)列表判别极值.61)1(是极大值fxf'(x)f(x)列表(0)(01)(1,+)+不存在+极大值极小值010例2求函数f(x)=的极值.3223xx解函数f(x)的连续区间是(,+)由于311)(xxf331xx令f(x)=0得驻点x=1又当x=0时，函数f(x)的导数不存在x=0和x=1将区间(,+)分成三个部分区间：(0)(0,1)(1,+)f(0)=0是极大值，.21)1(是极小值f练习32x1.求函数y=(x1)的极值。.593)(23的极值求出函数xxxxf2.1.求函数32)1()(xxxf的极值.解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf0520031)0,(),0(52),(520x是极大点，其极大值为0)0(f是极小点，其极小值为52x31)52(f解963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点列表讨论x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf0010)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xx.593)(23的极值求出函数xxxxf2.-22小结1.函数单调性的确定方法（1）确定函数的定义域；（2）求导数f(x)，确定函数的驻点和导数不存在的点，这些点将函数的定义域分成若干个部分区间；（3）在各个部分区间内判别f(x)的符号，从而确定f(x)在相应区间内的单调增减性.小结2.函数极值的确定方法（1）确定函数的连续区间；（2）求导数f(x)，确定f(x)的驻点和导数不存在的点；（3）用定理3判别函数f(x)的驻点和导数不存在的点是否为极值点；（4）若有极值点，求出极值点处的函数值，即为函数f(x)的极值.作业P.62A组2P.67A组1