FIR滤波器以及窗口设计

第四章FIR滤波器的设计方法线性相位FIR数字滤波器的特性窗口设计法IIR与FIR数字滤器的比较学习要求：掌握线性相位的条件；熟练掌握FIR线性相位滤波器的幅频特性；会用窗口法设计FIR滤波器。1、FIR数字滤波器FIR数字滤波器的差分方程描述对应的系统函数为：FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)：优点（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；（2）永远稳定，如果它的有限长单位脉冲响应是非因果的，总能够通过适当的移位得到因果的，所以不存在是否可实现的问题；FIR滤波器与IIR滤波器的设计方法大不相同，对IIR数字滤波器，设计结果是系统函数H(Z)，而FIR数字滤波器的设计结果是其单位脉冲响应h(k)。§4.1线性相位FIR数字滤波器的特性4.1.1线性相位特性1、线性相位特性相位特性是系统的一个特性，要研究系统的相位特性可求其傅立叶变换。例：对于一个系统要实现无失真传输则系统响应y(t)与激励f(t)的关系如下图。f(t)y(t)=Af(t-t0)求其傅立叶变换得：0()()jtYjAFje0()()()()()jtjYjHjAeHeFj而：系统的幅频特性为：|||()|0||ccAHj相频特性：0()||ctccA|()|Hj图一：幅频特性cc()图二：相位特性线性相位：指是w的线性函数，即群时延是一个常数。()0()dtd（常数）线性相位类别：第一类线性相位：第二类线性相位：()0()2、FIR滤波器满足第一类线性相位的条件条件：h(k)是实数序列且对N/2点偶对称，即h(k)=h(N-1-k)。11201()()cos[()]2NNjjkNHeehkk计算其频率响应得（计算过程见板书）：因为：h(k)是实函数，正弦函数也是实函数12()()NjjgHeHe幅度函数101()()cos[()]2NgkNHhkk相位函数1N-1()22N即所以，只要h(k)是实序列，且h(k)为N/2点偶对称，则该滤波器就一定具有第一类线性相位。3、FIR滤波器满足第二类线性相位的条件条件：h(k)是实数序列且对N/2点奇对称，即h(k)=-h(N-1-k)。11()2201()()sin[()]2NNjjkNHeehkk其频率响应为：101()()sin[()]2NgkNHhkk1()22N幅度函数相位函数综上，线性相位的条件：即如果单位脉冲响应h(k)为实数，且具有偶对称或奇对称性，则FIR数字滤波器具有严格的线性相位特性。4、线性相位FIR滤波器的幅度特性1201()()sin[()]2NgkNHhkk1101()()cos[()]2NgkNHhkkN为奇数N为偶数偶对称的幅度函数：奇对称的幅度函数：图三：线性相位FIR滤波器幅度特性1、h(n)偶对称，N为奇数w=0,π,2π偶对称，因此对这些频率也呈偶对称。2、h(n)偶对称，N为偶数w=π,H(w)=0，不能用这种情况设计高通、带阻滤波器。3、h(n)奇对称，N为奇数w=0,π,2π时H(w)=0，不能用作低通、高通或带阻，只能设计带通。4、h(n)奇对称，N为偶数w=0,2π时H(w)=0，不能设计低通和带阻，可设计高通和带通。表4.1四种线性相位FIR滤波器特性第一种情况，偶对称、奇数点，四种滤波器都可设计；第二种情况，偶对称、偶数点，可设计低、带通滤波器不能设计高通和带阻；第三种情况，奇对称、奇数点，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计；第四种情况，奇对称、偶数点，可设计高、带通滤波器，不能设计低通和带阻。总结：可见，四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关，其幅度特性取决于h(n)，所以，设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。§4.2窗口设计法（时间窗口法）FIR滤波器的一般设计过程总是先给定一理想频率响应为，然后设计一FIR滤波器用它的频率响应去逼近。在这种逼近中有两种直接的方法，一是从时域入手，这就是本节要讲的时间窗口设计法，另一种从频域入手，即下节讲的频率采样法。时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响通过付氏反变换获得。线性相位理想低通滤波器的频率响应：,||()0,,jajcdcceHe相应的理想单位抽样响应为：sin[()]1()2()cjajnccdccnahneednasin[()]()()cdnahnna即：1、FIR低通滤波器的设计图四：理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)波形由上图可见，得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最直接简单的办法是直接截取其一段得到可实现的有限长因果序列。为了构造线性相位滤波器，应使截取的一段对N/2对称，如：h(n)=hd(n)RN(n)其中RN(n)为矩形序列，也称为窗函数。见下图。图五：理想低通的单位脉冲响应及矩形窗所以，实际可实现的滤波器为：10()()NnnHZhnz我们用一个有限长序列h(n)来代替hd(n)，肯定会引起误差。对实际得到的h(n)取频率响应得其幅频图如下：Hd(w)1w-wcwc图七：理想的幅频特性曲线图六：实际滤波器的幅频特性曲线图从实际滤波器的幅频图和理想的滤波器幅频曲线比较，可见加窗对理想频响的影响：1、在w=wc附近形成过渡带，其宽度取决于窗函数的主瓣宽度。2、通带内增加了波动，阻带内产生了余震并减少了阻带的衰减。这是由窗函数旁瓣的作用引起的。这种误差表现在频域上，称为吉布斯效应。如何减少吉布斯效应？加大N，只能使过渡带变窄；要减少带内波动以及加大阻带衰减，就需要选择合适的窗函数。为了改善滤波器的特性，必须改变窗函数的形状，窗函数要满足以下两点要求：①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。2、几种典型的窗函数1）矩形窗窗函数为：10()1()NNkWnRn2）汉宁窗（升余弦窗）2()(0.50.5cos)()1NnWnRnN窗函数为：3）哈明窗（改进的升余弦窗）2()(0.540.46cos)()1NnWnRnN窗函数为：它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在主瓣内。4）布莱克曼窗24()(0.420.5cos0.08cos)()11NnnWnRnNN窗函数为：增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，增加N可减少过渡带。5）凯塞窗以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减,如图。窗函数为：2002[1(1)]1()[]nINWnI201(/2)()1[]!jjxIxj其中四种窗函数的比较四种窗函数的时域波形如图4.6，幅度谱如图4.7，用四种窗函数所设计的滤波器的频响特性如图4.8。从(a)→(d)，旁瓣的衰减逐步增加，主瓣相应加宽。（N=51，=0.8π）图4.8可见，用矩形窗设计的滤波器过渡带最窄，但阻带最小衰减也最小，仅-21dB；布莱克曼窗设计的阻带最小衰减最大，达-74dB，但过渡带最宽，约为矩形窗的三倍。3、用窗函数法设计FIR滤波器步骤1)根据技术要求确定待求滤波器的单位脉冲响应hd(n);2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估算窗口的长度N；3)计算滤波器的单位脉冲响应h(n)，h(n)=hd(n)w(n)，如果要求是线性相位，则hd(n)和w(n)均对N/2点对称。对于FIR滤波器，得h(n)就设计好了，当然要验证指标的话，还应求出频率响应。另一个FIR滤波器参数表(模拟指标)优点：1.无稳定性问题；2.容易做到线性相位；3.可以设计各种特殊类型的滤波器；4.方法特别简单。缺点：1.不易控制边缘频率；2.幅频性能不理想；3.较长；()hn改进：1.使用其它类型的窗函数；2.改进设计方法。FIRDF设计的窗函数法的特点：窗口法设计FIR高通带通带阻滤波器1、线性相位FIR高通滤波器的设计(第一类线性相位)理想高通的频率响应为：||N-1()20jcjdeHe其中其他第二类线性相位（有相移）(略)其单位抽样响应为：()()1h()[]2sin[()]sin[()]()cjkjkdcckededkkk相当于用一个截止频率在π处的低通滤波器（实际上是全通滤波器）减去一个截止频率在ωc处的低通滤波器。例2:根据下列技术指标，设计一个FIR数字高通滤波器：wp=0.6π,ws=0.4π,Ap=0.25dB,As=40dB。选择一个合适的窗函数，确定单位冲激响应。（ex4_hp.m）窗函数主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减矩形4π/N1.8π/N-21汉宁8π/N6.2π/N-44汉明8π/N6.6π/N-53布莱克曼12π/N11π/N-74课本P150表4.2几种窗函数的性能解：wp=0.6π;ws=0.4πtr_width=wp-ws=0.2πN=6.2π/tr_width=31wc=(ws+wp)/2=0.5π;sin[()]sin[()]h()()cdkkkk理想高通2()(0.50.5cos)()1NnWnRnN选择汉宁窗汉明窗函数为所以，h(n)=hd(n)w(n)注意与上次课例子做比较2、线性相位FIR带通滤波器的设计理想带通的频率响应为：120||N-1()20jjdeHe其中其他其单位抽样响应为：12()()21211h()[]2sin[()]sin[()]()jkjkdkededkkk可见，带通滤波器(w1,w2)=低通(w2)-低通(w1)习题1：根据下列技术指标，设计一个FIR数字带通滤波器：wpl=0.4π,wph=0.6π,wsl=0.2π,wsh=0.8π,Apl=1dB,Aph=1dB,Asl=60dB,Ash=60dB。选择一个合适的窗函数，确定单位冲激响应.(ex4_bandpass.m)3、线性相位FIR带阻滤波器的设计理想带阻的频率响应为：120||,||()N-10,,()2jjdeHe其他其中其单位抽样响应为：21()()()12121h()[]2sin[()]sin[()]sin[()]()jkjkjkdkedededkkkk可见，带阻滤波器(w1,w2)=高通(w2)+低通(w1)习题2：根据下列技术指标，设计一个FIR数字带阻滤波器：wpl=0.2π,wph=0.8π,wsl=0.4π,wsh=0.6π,Apl=1dB,Aph=1dB,Asl=40dB,Ash=40dB。选择一个合适的窗函数，确定单位冲激响应。(ex4_stop.m)总结：低通、高通、带通和带阻FIR滤波器的设计步骤是一样的