4.2.1直线与圆的位置关系

4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程分别是什么？222()()xaybr22220(40)xyDxEyFDEF0022||AxByCdAB一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？轮船港口台风下面我们以太阳的起落为例.以蓝线为水平线,圆圈为太阳!注意观察!!1.理解直线与圆的位置的种类.（重点）2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.（重点）3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.（难点）4.会用代数的方法来判断直线与圆的位置关系．（难点）1.直线和圆只有一个公共点,叫做直线和圆相切.2.直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交.3.直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.一、直线与圆的位置关系．o圆心O到直线l的距离dl半径r1.直线l和⊙O相离,此时d与r大小关系为_________drl．o圆心O到直线l的距离d半径r2.直线l和⊙O相切,此时d与r大小关系为_________ld=r．o圆心O到直线l的距离d半径r3.直线l和⊙O相交,此时d与r大小关系为_________ldr1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：二、直线与圆的位置关系的判定方法：22BACbBaAddrd=rdr直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交直线l：Ax+By+C=0，圆O：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断：2220()()设方程组消元所得一元二次方程的解的个数为AxByCxaybrn直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交n=0n=1n=2△0△=0△0例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标..xyOCABl分析：方法二:可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．方法一:判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几组实数解；解法一：由直线l与圆的方程，得22360,240.xyxyy①②消去，得y2320xx因为2(3)42110,所以,直线l与圆相交，有两个公共点．解法二：圆为2222x+y-2y-4=0可化x+(y-1)=5,其圆心C的坐标为（0,1），半径长为5，点C（0,1）到直线l的距离223016551031d所以，直线l与圆相交，有两个公共点．由2320,xx解得122,1.xx把x1=2代入方程①，得y1=0；把x2=1代入方程①,得y2=3.所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是A（2,0）,B（1,3）.1.设直线过点(0，a)，其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切，则a的值为()A.±B.±2C.±2D.±4【解析】选B.由已知可知直线方程为y=x+a,即x-y+a=0，所以有得a=±2.220-0+a=2,2【变式练习】例2已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程.45解：将圆的方程写成标准形式，得x2+(y+2)2=25,所以，圆心的坐标是（0，-2）,半径长r=5.如图，因为直线l被圆所截得的弦长是，所以弦心距为即圆心到所求直线l的距离为.4522455()525因为直线l过点M（-3，-3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离因此，2233.1kdk22335.1kk即两边平方，并整理得到2k2-3k-2=0,解得k=，或k=2.所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为y+3=(x+3),或y+3=2(x+3).即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.23155,kk1212判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的方程组成的方程组是否有解a、有解,直线与圆有公共点.有一组,则相切;有两组,则相交.b、无解,则直线与圆相离.【提升总结】直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2+y2-4x+1=0的位置关系是()A.直线与圆相切B.直线与圆相交但不过圆心C.直线与圆相离D.直线过圆心3【变式练习】A解：选A.因为直线x+y=0的倾斜角为150°,所以顺时针方向旋转30°后的倾斜角为120°,所以旋转后的直线方程为x+y=0.将圆的方程化为(x-2)2+y2=3,所以圆心的坐标为(2，0)，半径为,圆心到直线x+y=0的距离为=圆的半径，所以直线和圆相切.3323d==32331.判断直线与圆的位置关系常用几何法，其一般步骤分别为：①把圆的方程化为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径r.②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.③判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交.【提升总结】2.已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围.1.⊙O的半径为3,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与⊙O没有公共点，则d为（）A．d＞3B．d3C．d≤3D．d=32.圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的位置关系是（）A．相离B.相交C.相切D.相切或相交AC3．已知圆22:40Cxyx,l是过点(3,0)P的直线,则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：因为32+02-4×30,所以点P在圆C内，又因为直线l过点P，所以直线l与圆C相交.A5.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系是______.相交4.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________.相离6.圆心为M(3,-5)，且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程为.(x-3)2+(y+5)2=32解：方程经过配方，得7.判断直线与圆的位置关系．2220xyx－3420xy因为d=r，所以直线3x＋4y＋2＝０与圆相切．22(1)1xy|3+0+2|d==1522x+y－2x=0圆心坐标是（１，０），半径r=1．圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为22||AaBbCdABdrd=rdrd与r2个1个0个交点个数图形相交相切相离位置rdrdrd则有以下关系：求圆心坐标及半径r（配方法）圆心到直线的距离d（点到直线距离公式）2220()()xaybrAxByC消去y20pxqxtΔ0:相交Δ=0:相切Δ0:相离dr:相交d=r:相切dr:相离判断直线和圆的位置关系几何方法代数方法不要被不重要的人或事过多打扰，因为“成功的秘诀就是抓住目标不放”。