4.2.2--圆与圆的位置关系4.2.3--直线与圆的方程的应用

4.2.2圆与圆的位置关系求圆心坐标及半径r（配方法）圆心到直线的距离d（点到直线的距离公式）2220()()xaybrAxByC消去y20pxqxtΔ0:相交Δ=0:相切Δ0:相离dr:相交d=r:相切dr:相离判断直线和圆的位置关系几何方法代数方法圆与圆有哪几种位置关系呢？你能从生活中举几个圆和圆的位置关系的例子吗？思考下面我们就进入今天的学习内容，圆与圆的位置关系！总结1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.会根据两圆的圆心距与半径之间的关系判断出两圆的位置关系.（重点、难点）3.会求两相交圆的公共弦方程、公切线方程.探究圆与圆的位置关系1.相离（没有公共点）2.相切（一个公共点）3.相交（两个公共点）外离内含（同心圆）内切外切外离圆和圆的五种位置关系dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-r0≤dR-rd=0外切相交内切内含同心圆(一种特殊的内含)rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2外离外切相交内切内含两圆的公切线二、两圆位置关系的判断它们的位置关系有两种判断方法：已知圆22211:()()Cxaybr与圆22222:()()Cxcydr代数法和几何法1.平面几何法判断圆与圆的位置关系公式第一步：计算两圆的半径r1，r2；第二步：计算两圆的圆心距d；第三步：根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系.两圆外离：r1+r2d；两圆外切：r1+r2=d；两圆相交：|r1－r2|dr1+r2；两圆内切：|r1－r2|=d；两圆内含：|r1－r2|d≥0.2.利用代数方法判断（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆内切或外切，（2）当Δ0时，没有交点，两圆内含或相离，22212222()(),()(),xaybrxcydr消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.将两个圆方程联立,得（3）当Δ0时，有两个交点，两圆相交.两种方法的优缺点；几何方法直观，但不能求出交点；代数方法能求出交点，但Δ=0，Δ0时，不能准确判断圆的位置关系.例1：已知圆221:2880Cxyxy，圆222:4420Cxyxy，试判断圆C1与圆C2的位置关系.【提升总结】方法二，代数法．由两者方程组成方程组，由方程组解的情况决定.解法一：把圆的方程都化成标准形式,为221:(1)(4)25Cxy222:(2)(2)10Cxy的圆心坐标是,半径长1C(1,4)15;r的圆心坐标是,半径长2C(2,2)210;r分析：方法一，几何法．判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系.所以圆心距2212(12)(42)35CC1212510,510rrrr51035510122135rrrr两圆半径的和与差而即所以两圆相交.解法二：22222880,4420.xyxyxyxy①②将两个圆方程联立,得方程组①②，得210xy③12xy由③得把上式代入①，并整理得2230xx④故两圆相交．2=(2)41(3)160△方程④根的判别式所以方程④有两个不等实数根，方程组有两解；圆x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切【解析】选C.圆的方程分别化为(x-1)2+y2=1,x2+(y+2)2=4,因为两圆圆心距d=而两圆的半径和r1+r2=3,半径差r2-r1=1，所以r2-r1＜d＜r1+r2,所以两圆相交.145,【变式练习】探究：圆221:2310Cxyxy与圆222:4320Cxyxy相交于A,B两点，如何求公共弦的方程？方法一：将两圆方程联立，求出两个交点的坐标，利用两点式求公共弦的方程.方法二：先来探究一般情形．已知圆221111C:x+y+Dx+Ey+F=0与圆222222C:x+y+Dx+Ey+F=0相交于A,B两点，设1122(,),(,)AxyBxy那么①②221111111221121212x+y+Dx+Ey+F=0,x+y+Dx+Ey+F=0.①②-，得③12112112(D-D)x+(E-E)y+F-F=0同理可得12212212(D-D)x+(E-E)y+F-F=0④由③④可知1122A(x,y),B(x,y)一定在直线l121212:(D-D)x+(E-E)y+F-F=0上．显然通过两点的直线只有一条，即直线方程唯一，故公共弦的方程为121212(D-D)x+(E-E)y+F-F=0．消去二次项所以前面探究问题可通过（D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0得出,即公共弦的方程为：2x+1=0例2:已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆C2：x2+y2+6x+2y－40=0相交于A、B两点，求公共弦AB的长.解法一：由两圆的方程相减，消去二次项得到一个二元一次方程，此方程为4x+3y=10.即为公共弦AB所在的直线方程，由22431010100xyxyxy，，解得26xy，，或42.xy，所以两点的坐标是A(－2,6)，B(4,－2)，或A（4，-2），B（-2,6），故|AB|=226+8=10.圆C1的圆心C1(5，5)，半径r1=，2５则|C1D|=|201510|55，所以|AB|=2|AD|=22112|CA|-|CD|=10.解法二：先求出公共弦所在直线的方程：4x+3y=10.过圆C1的圆心C1作C1D⊥AB于D.两圆O1：x2+y2-6x+16y-48=0与O2：x2+y2+4x-8y-44=0，其半径分别为m1,m2,则它们的公切线条数为()A.1B.2C.3D.4【变式练习】B【解析】选B.将两圆方程化为标准方程为(x-3)2+(y+8)2=121,(x+2)2+(y-4)2=64.所以O1(3,-8),r1=11;O2(-2,4),r2=8.因为|O1O2|=所以3＜|O1O2|＜19,所以两圆相交，从而公切线有两条.22234813,2.已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆相切，求圆C的方程.221xy答案:外切22(4)(3)16.xy内切22(4)(3)36.xy1.若圆相交，求实数m的范围.1m1212222x+y=m与圆x+y+6x-8y-11=0两圆心坐标及半径r1,r2（配方法）圆心距d（两点间距离公式）比较d和r1，r2的和与差的大小，下结论222111222222()()()()xaybrxaybr消去y02rqxpxΔ0:相交Δ=0:内切或外切Δ0:外离或内含几何方法代数方法4.2.3直线与圆的方程的应用自主学习：课本P130-132例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）.ABA1A2A3A4OPP2知识应用分析：建立如图所示的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题——求出圆拱桥所在的圆的方程；然后解决这个实际问题——利用圆的方程求出点P2的坐标，从而求线段A2P2的长，解释实际意义——圆拱形桥支柱的高A2P2.ABA1A2A3A4OPP2yx解：建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径为r，那么圆的方程为：x2＋（y－b）2＝r2，点P（0,4），B（10,0）在圆上，所以有ABA1A2A3A4OPP2yx2222220+(4-b)=r,10+b=r,2210.5,14.5,br解得：222(10.5)14.5xy所以，圆的方程为：把的横坐标代入2P2x圆的方程得：222(2)(10.5)14.5y由题可知y＞0，解得：y≈3.86(m)答：支柱A2P2的高度约为3.86m.例2．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四边形外接圆的圆心分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，O第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量.O'ABCDxyOENM由中点坐标公式，有：,MO'a+cx=x=2.NO'b+dy=y=2,Eax=2,Edy=2第二步:进行有关代数运算O'ABCDxyOENMO'E22db+daa+c=(-)+(-)22222212bc，由两点间的距离公式，有：BC22bc，'OE12BC，所以即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.第三步:把代数运算结果翻译成几何关系.O'ABCDxyOENM利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．第二步：通过代数运算，解决代数问题．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．【提升总结】作业《课时作业25》P145