随机过程Ch2-随机过程的概念与基本类型

第二章随机过程的概念与基本类型本章主要内容2.1随机过程的基本概念2.2随机过程的分布律和数字特征2.3复随机过程2.4几种重要的随机过程2一维随机变量e→X(e)二维随机变量e→（X(e)，Y(e)）…n维随机变量e→（X1(e)，X2(e)，…,Xn(e)）随机序列e→（X1(e)，X2(e)，…,）随机过程e→（X(t,e)，t∈T）实例•在社会实践中，我们经常要对随机现象的变化过程进行研究，即用一族随机变量来刻划随机现象的全部统计规律性。随机过程的例子•生物群体的增长问题在描述群体的发展或演变过程中，以X(t)表示在时刻群体的个数，则对每一个t，X(t)是一个随机变量。假设我们从t=0开始每隔24小时对群体个数观测一次，则{X(t)，t=0,1,2,…}是随机过程。•某电话交换台接到的呼唤次数以X(t)表示某电话交换台在时间段[0,t]内接到的呼叫次数，对于固定的t，X(t)是一个取非负整数的随机变量，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随机过程；•商场顾客的消费额设Xi表示第i位顾客的消费额，则{Xi,i=0,1,2,…}是随机过程。•海平面的垂直振动以X(t)表示某固定点处在时刻t的海面相对于平均海平面的高度，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随机过程。2.1随机过程的一般概念•定义2.1设(,F,P)为概率空间，T是给定的参数集。若对任意tT，有随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族{X(t,e)，tT}是(,F,P)上的随机过程，简记为{X(t)，tT}或{Xt，tT}。•当t固定时，X(t)是一个随机变量，称为{X(t,e)，tT}在时刻t的状态；X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空间或相空间，记为I。2.1随机过程的基本概念•从数学上看，随机过程{X(t,e)，tT}是定义在T上的二元函数。•对固定的t，X(t,e)是(,F,P)上的随机变量；•对固定的e，X(t,e)是定义在T上的不具有随机性的普通函数，记为x(t)，称为随机过程的一个样本函数或样本轨道，其图像称为随机过程的一条样本曲线。随机变量族(t,e)→xt(e)=x(t,e)xx(ti,e)t1t2t3解：例2.12.1随机过程的基本概念•按参数T和状态空间I分类•随机序列（时间序列）–时间T取离散值（可列），也称为离散随机过程–分为离散时间序列和连续时间序列2.1随机过程的基本概念•按Xt的概率特性分类正交增量过程独立增量过程马尔可夫过程平稳随机过程维纳过程......随机过程举例例.)()(,1机游动就是直线上的随时刻在路上的位置，则他在记以相同）后退一步（假设其步长以概率前进一步，概率一醉汉在路上行走，以随机游动：tXttXpp例抛掷一枚硬币，样本空间为},{THS定义：时当出现，时当出现T2H,cos)(tttX),(t,2/1}{}{TPHP其中是一则)},(,)({ttX随机过程。2.2随机过程的分布律和数字特征•定义2.2随机过程{X(t)，tT}的有限维分布函数族其中是n维随机变量(X(t1),X(t2),,X(tn))的联合分布函数。1,,,,),,,,(2121,,1nTtttxxxFnnttnF),,,(21,,1nttxxxFn•说明：有限维分布函数族完整描述了随机过程的概率特征；换句话讲,有限维特征函数族也完整描述了随机过程的概率特征。例2.22.2随机过程的分布律和数字特征•有限维分布函数族的性质(1)对称性其中是的任意排列(2)相容性当mn时),,,(),,,(2111,,21,,nniiniiittnttxxxFxxxFniiittt,,,21nttt,,,21),,,,,,(),,,(21,,,,21,,11mtttmttxxxFxxxFnmm2.2随机过程的分布律和数字特征定理（柯尔莫哥洛夫，Kolmogorov存在定理)：设已给参数集T及满足对称、相容的有限维分布函数族F，则必存在概率空间(,F,P)及定义在其上的随机过程{X(t)，tT}，它的有限维分布函数族就是F。•有限维特征函数族11,,1212,,121(,,,),,,,,1(,,,)exp()nnttnnnttnkkkgtttTngEiXt分布函数族F其中随机过程的数字特征定义2.3设{X(t)，tT}是随机过程，定义•均值函数若对,EX2(t)存在，则称该过程为二阶矩过程。•方差函数•协方差函数•相关函数TttEXtmX,)()(TtstEXtXsEXsXEtsBX,))]()())(()([(),(2()[(()())],XDtEXtEXttTTtTtstXsXEtsRX,,)]()([),(☆随机过程数字特征之间的关系],[=)(2ttRtEXX,时当s=t)(),(),()()(D22XtmttRttBttXXXX)]([)(tXEtmX均值函数)]()s([),s(XtXXEtR相关函数☆最主要的数字特征TtstmsmtsRtsBXXXX,,)()(),(),(2.2随机过程的分布律和数字特征0)sin()cos()]sin()cos([)()(EZtEYttZtYEtEXtmX)]()([)()()]()([))]()())(()([(),(tXsXEtEXsEXtXsXEtEXtXsEXsXEtsBX2.2随机过程的分布律和数字特征])cos[()sin()sin()cos()cos()sin()sin()(sin)cos()cos()()sin()sin()()cos()sin()()sin()cos()()cos()cos()])sin()sin()cos()sin())sin()cos()cos()[(cos())]sin()cos())(sin()cos([(2222222tststsDZtsEYEZtsDYtsZEtsYZEtsYZEtsYEtsZtsYZtsYZtsYtsEtZtYsZsYE])cos[()sin()sin()cos()cos()sin()sin()(sin)cos()cos()()sin()sin()()cos()sin()()sin()cos()()cos()cos()])sin()sin()cos()sin())sin()cos()cos()[(cos())]sin()cos())(sin()cos([(2222222tststsDZtsEYEZtsDYtsZEtsYZEtsYZEtsYEtsZtsYZtsYZtsYtsEtZtYsZsYE])cos[()sin()sin()cos()cos()sin()sin()(sin)cos()cos()()sin()sin()()cos()sin()()sin()cos()()cos()cos()])sin()sin()cos()sin())sin()cos()cos()[(cos())]sin()cos())(sin()cos([(2222222tststsDZtsEYEZtsDYtsZEtsYZEtsYZEtsYEtsZtsYZtsYZtsYtsEtZtYsZsYE])cos[()sin()sin()cos()cos()sin()sin()(sin)cos()cos()()sin()sin()()cos()sin()()sin()cos()()cos()cos()])sin()sin()cos()sin())sin()cos()cos()[(cos())]sin()cos())(sin()cos([(2222222tststsDZtsEYEZtsDYtsZEtsYZEtsYZEtsYEtsZtsYZtsYZtsYtsEtZtYsZsYE2.2随机过程的分布律和数字特征~dii..ondistributiidenticaltindependen2222()()0()()1(,)[()()]()()[()()][]1001XXXXXmtEYZtEYtEZDtDYZtDYtDZtBstEXsXtmsmtEYZsYZtEYZYsYZtZststst综上，X(t)～N(0,1+t2)。2.2随机过程的分布律和数字特征随机过程{X(t),t0}的一维概率密度222221()()exp{}221exp,02(1)2(1)txfxxttt2222()()0()()1(,)[()()]()()[()()][]1001XXXXXmtEYZtEYtEZDtDYZtDYtDZtBstEXsXtmsmtEYZsYZtEYZYsYZtZststst)1)(1(1)()(),(),(22tssttDsDtsBtsXXXX（2）2.2随机过程的分布律和数字特征0,1)1)(1(21)1(21exp)1)(1)(1(21),(2222221221222221,tstxtsxxsxtsxxfts随机过程{X(t),t0}的二维概率密度或2.2随机过程的分布律和数字特征设{X(t)，tT}，{Y(t)，tT}是两个随机过程，二阶矩函数存在，定义二阶矩过程一、二阶矩函数存在•定义2.4互协方差函数互相关函数☆显然有关系式TtstEYtYsEXsXEtsBXY,))]()())(()([(),(TtstYsXEtsRXY,,)]()([),(TtstmsmtsRtsBYXXYXY,,)()(),(),(2.2随机过程的分布律和数字特征)()()()()]()([)()(tmtmtEYtEXtYtXEtEWtmYXW))]()())(()([()]()([),(tYtXsYsXEtWsWEtsRW2.2随机过程的分布律和数字特征[()()()()()()()()][()()][()(t)][()()][()()](,)(,)(,)(,)XXYYXYEXsXtXsYtYsXtYsYtEXsXtEXsYEYsXtEYsYtRstRstRstRst2.3复随机过程•定义2.5设{Xt，tT}，{Yt，tT}是取实值的两个随机过程，对tT，Zt=Xt+iYt，其中，则称{Zt，tT}是复随机过程。•均值函数•方差函数)()()(timtmiEYEXEZtmYXtttZ))(())((]|)([|)(2tmZtmZEtmZEtDZtZtZtZ1i2.3复随机过程•相关函数•协方差函数☆显然有关系式[]tsZZZEtsR=),([]))(())((=),(tmZsmZEtsBZtZsZ--)()(),(),(tmsmtsRtsBZZZZ2.3复随机过程•复随机过程的协方差函数具有性质(1)共轭对称性(2)非负定性1,,,2,1,,0),(1,nnICaTtaattBiijinjiji),(),(stBtsB2.3复随机过程),0(~,0,21kknktiwktNXteXZk0)(11nkktiwnktiwktEXeeXEE