椭圆专项练习

1.已知方程22121xymm表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围为()(A)(0,1)(B)1(,)2(C)1(0,)2(D)1(,1)22.设F1，F2是椭圆E：2222=1xyab(ab0)的左、右焦点，P为直线3x=2a上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()3.椭圆2255xky的一个焦点是(0,2)，那么实数k的值为A、25B、25C、1D、14.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为(A)12(B)22(C)32(D)335.已知椭圆的焦点为F1，F2，P为C上一点，若PF1⊥PF2，，则C的离心率为A．33B．23C．53D．636.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为(2,0)F，离心率为63。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线3x上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q。当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积。7.已知抛物线24yx的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1,F2为焦点的椭圆C过点21,2.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点T)0,2(，过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点，且22FAFB，若2,1,TATB求的取值范围.8.如图，已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：222(2)(0)xyrr，设圆T与椭圆C交于点M与点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求TMTN的最小值，并求此时圆T的方程；（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线,MPNP分别与x轴交于点,RS，O为坐标原点，求证：OROS为定值．9.如图，椭圆C：12222byax的顶点为1A,2A,1B,2B,焦点为1F，2F，711BA，平行四边形A1B1A2B2的面积是平行四边形B1F1B2F2的面积2倍。（1）求椭圆C的方程；（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线，1OP，是否存在上述直线l使1PBAP成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。nxy第21题图ABB2B1OA1A2F1F2P10.（本小题满分14分）已知椭圆22221xyab（a＞b＞0）的离心率32e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；K]（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点,AB，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，0y）在线段AB的垂直平分线上，且4QBQA，求0y的值.11.（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点为F，离心率为22，过点F且与长轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，O为坐标原点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点M（0，2）作直线AB交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值；（Ⅲ）设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQN的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．12.（本小题满分12分）已知椭圆C的方程为22221(0)xyabab，其右顶点A(2，0)，离心率32e.(I)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若直线:(0)lykxmk与椭圆C交于不同的两点M,N(M,N不与左、右顶点重合），且0MANA．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．13.（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F2（1，0），点3(1,)2H在椭圆上。（1）求椭圆方程；（2）点00(,)Mxy在圆222xyb上，M在第一象限，过M作圆222xyb的切线交椭圆于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由。14.（本小题13分）设点(,)Pxy到直线2x的距离与它到定点(1,0)的距离之比为2，并记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程;（Ⅱ）设(2,0)M，过点M的直线l与曲线C相交于,EF两点，当线段EF的中点落在由四点1212(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)CCBB构成的四边形内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．15.（满分12分）已知椭圆22:14xGy，过点（m,0）作圆221xy的切线l交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.16.（本题满分12分）已知1F、2F分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，右焦点2(,0)Fc到上顶点的距离为2，若26ac.（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线yx与椭圆交于M、N两点（N在第一象限内），又P、Q是此椭圆上两点，并且满足120||||NPNQFFNPNQ，求证：向量PQ与AM共线.17.（本小题满分13分）已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的标准方程；（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且1659MN，求直线l的方程.OPMQF2yx18.（本小题满分12分）已知圆222:2Mxyr(0)r,若椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点为圆M的圆心，离心率为22．（1）求椭圆C的方程；（2）若存在直线:lykx，使得直线l与椭圆C分别交于,AB两点，与圆M分别交于,GH两点，点G在线段AB上，且AGBH，求圆M的半径r的取值范围．19.（本小题8分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，点E在椭圆C上，且11212414,,33EFFFEFEF。(I)求椭圆C的方程；(II)直线l过点P(-2,1)，交椭圆C于A、B两点，且点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)yxCabab的离心率为23,椭圆C过点1(,3)2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点0,Pm作圆221xy的切线l交椭圆C于A，B两点,记(AOBO为坐标原点)的面积为AOBS,将AOBS表示为m的函数，并求AOBS的最大值.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab与直线:()lxmmR,四点(3,1),(22,0),(3,1),(3,3)中有三个点在椭圆C上，剩余一个点在直线l上．(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若动点P在直线l上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PMPN，再过P作直线'lMN.证明直线'l恒过定点，并求出该定点的坐标．22.(本题满分12分)已知椭圆C：)0(12222babyax经过点)23,1(P，离心率21e，直线l的方程为4x.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为321,,kkk，问：是否存在常数，使得321kkk？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.23.设1F、2F分别是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PFF，则椭圆的离心率为.24.已知斜率为1的直线l过椭圆22221(0)xyabab的左焦点和上顶点，则该椭圆的离心率为_________．25.已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，P为椭圆C上一点，且12PFPF，若12PFF的面积为9，则___________.b试卷答案1.D2.C3.D4.C5.D6.（Ⅰ）由题意可得，解得c=2，a=，b=．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．∵四边形OPTQ是平行四边形，∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），∴，解得m=±1．此时四边形OPTQ的面积S=═=2．略7.（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意得1c，设椭圆C的标准方程为)0(12222babyax，略8.解：（Ⅰ）依题意，得2a，32cea，1,322cabc；故椭圆C的方程为2214xy．（Ⅱ）点M与点N关于x轴对称，设),(11yxM，),(11yxN，不妨设01y．由于点M在椭圆C上，所以412121xy．（*）由已知(2,0)T，则),2(11yxTM，),2(11yxTN，21211111)2(),2(),2(yxyxyxTNTM3445)41()2(1212121xxxx51)58(4521x．由于221x，故当581x时，TMTN取得最小值为15．由（*）式，531y，故83(,)55M，又点M在圆T上，代入圆的方程得到21325r．故圆T的方程为：2213(2)25xy．（Ⅲ）设),(00yxP，则直线MP的方程为：)(010100xxxxyyyy，令0y，得101001yyyxyxxR，同理：101001yyyxyxxS，故212021202021yyyxyxxxSR（**）又点M与点P在椭圆上，故)1(42020yx，)1(42121yx，代入（**）式，得：4)(4)1(4)1(421202120212021202021yyyyyyyyyyxxSR．所以4SRSRxxxxOSOR为定值．略9.(1)72211baBA又∵112211222ABABBFBFSSca23,422ba134:22yxC椭圆…………………………………………4分（2）假设存在①若直线l的斜率存在，设mkxyl:1111222kmcmOP…………………………………………6分由13422yxmkxy得0124843222mkmxxk设2211,,,yxByxA，则222122143124,438kmxxkkmxx1,1OPPBAP010012PBPAOPPAPBOPOPPBOPPAOPOBOA02121yyxx…………………………………………10分0438124101222222221212kmmkmkmxxkmxxk将122km代入化简得0)1(52k矛盾此时，直线l不存在…………………………………………12分②当l垂直于x轴时，满足1OP的直线为1x当x=1时，0,123-,123,1PBA，，，149PBAP当x=-1时，同理可得1PBAP综上，不存在直线l使1PBAP成立…………………………………………14分10.（Ⅰ）解：由3e2ca，………………1分得2234ac，再由222cab，得2ab………………2分由题意可知，1224,22abab即………………3分解方程组22abab得：2,1ab所以椭圆的方程为：2214xy………………4分（Ⅱ）解：由（1）可知A（-2,0）．设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率显然所在，设为k，则直线l的方程为(2)ykx,……………5分于是A,B两点的坐标满足方程组22(2)14ykxxy