函数与基本初等函数专题

-1-年级：辅导科目：数学课时数：3课题函数与基本初等函数教学目的教学内容函数的奇偶性（一）高考目标考纲解读1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性．考向预测1．函数的奇偶性是函数的一个重要性质，为高考中的必考知识点．2．常与函数的概念、图像、单调性、对称性等综合考查．（二）课前自主预习知识梳理1．函数的奇偶性图像关于原点对称的函数叫作奇函数f(x)满足图像关于y轴对称的函数叫作偶函数f(x)满足当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有（三）基础自测1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A．y＝－x3，x∈RB．y＝sinx，x∈RC．y＝x，x∈RD．y＝12x，x∈R[答案]A[解析]y＝sinx在R上不单调，y＝12x不是奇函数，y＝x为增函数，故B、C、D均错．2．(教材改编题)下面四个结论中，正确命题的个数是()①偶函数的图像一定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．A．1B．2C．3D．4-2-[答案]A[解析]①错误，如函数f(x)＝1x2是偶函数，但其图像与y轴没有交点；②错误，因为奇函数的定义域可能不包含x＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．3．(2011·上海宝山模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则()A．a＝13，b＝0B．a＝－1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝3，b＝0[答案]A[解析]由f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0.又定义域为[a－1,2a]，∴(a－1)＋2a＝0，∴a＝13.4．(2009·重庆理)若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝______.[答案]12[解析]考查函数的奇偶性．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，即12－1－1＋a＝－12－1－a，∴a＝12.（四）典型例题1.命题方向：奇偶性的判定[例1]判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x－1)1＋x1－x；(2)f(x)＝lg(1－x2)|x－2|－2；(3)f(x)＝x2＋xx0x2－xx0；(4)f(x)＝3－x2＋x2－3；(5)f(x)＝x2－|x－a|＋2.[解析](1)由1＋x1－x≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)由1－x20|x－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f(x)＝lg(1－x2)(x－2)2＝－lg(1－x2)x，∵f(－x)＝－lg[1x2]x＝lg1－x2x＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(3)当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)当x0时，－x0则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．另解：1°画函数f(x)＝x2＋xx0x2－xx0的图像．图像关于y轴对称，故f(x)为偶函数．2°f(x)还可写成f(x)＝x2－|x|，故为偶函数．(4)由3－x2≥0x2－3≥0得x＝－3或x＝3∴函数f(x)的定义域为{－3，3}-3-又∵对任意的x∈{－3，3}，f(x)＝0.∴f(－x)＝f(x)＝－f(x)(5)函数f(x)的定义域为R当a＝0时f(x)＝f(－x)∴f(x)是偶函数当a≠0时f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2f(a)≠f(－a)且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2)＝2(|a|－12)2＋72≠0∴f(x)是非奇非偶函数．[点评]第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图像判断．跟踪练习1判断函数f(x)＝16－x2|x＋5|－5的奇偶性．[解析]由题意知16－x2≥0|x＋5|－5≠0解得－4≤x0或0x≤4，∴函数的定义域关于原点对称．∵f(x)＝16－x2|x＋5|－5＝16－x2x，∴f(－x)＝16(－x)2－x＝－16－x2x＝－f(x)．∴f(x)是奇函数.2.命题方向：奇偶性的应用[例2]已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a、b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．[解析](1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，∴b＝1.∴f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，∴a＝2.(2)解法1：由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价于f(t2－2t)f(－2t2＋k)．因f(x)是减函数，∴t2－2t－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k0.从而判别式Δ＝4＋12k0，解得k－13.解法2：由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2，又由题设条件得-4-－2t2－2t＋12t2－2t＋1＋2＋－22t2－k＋122t2－k＋1＋20，即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)·(－22t2－k＋1)0.整理得23t2－2t－k1，因底数21，故3t2－2t－k0.上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k0，解得k－13.跟踪练习2已知函数f(x)＝1－42ax＋a(a0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．[解析](1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝0.即1－42×a0＋a＝0，解得a＝2.(2)∵y＝2x－12x＋1，∴2x＝1＋y1－y，由2x0知1＋y1－y0，∴－1y1，即f(x)的值域为(－1,1)．(3)不等式tf(x)≥2x－2即为t·2x－t2x＋1≥2x－2.即：(2x)2－(t＋1)·2x＋t－2≤0.设2x＝u，∵x∈(0,1]，∴u∈(1,2]．∵u∈(1,2]时u2－(t＋1)·u＋t－2≤0恒成立．∴12t＋11＋t－2≤022t＋12＋t－2≤0，解得t≥0.（五）思想方法点拨1．判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y＝x2(x∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此，一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称．★函数奇偶性的判定方法：(1)定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数．第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断．即若有：f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0或f(x)－f(－x)＝2f(x)或f(x)·f(－x)＝－f2(x)或f(x)/f(－x)＝－1为奇函数．若有f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0或f(x)＋f(－x)＝2f(x)或f(x)·f(－x)＝f2(x)或f(x)/f(－x)＝1为偶函数．(2)图像法：利用“奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称”来判断．(3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(4)性质法-5-偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．利用上述结论时要注意函数的定义域是各个函数定义域的交集．★函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性，求参数．常常采用待定系数法利用关系式f(x)±f(－x)＝0产生关于x的恒等式，利用对应项系数相等求得字母的值．2．运用奇、偶函数的性质及其单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)＝f(－x)＝f(|x|)。（六）课后强化作业一、选择题1．(2010·重庆理)函数f(x)＝4x＋12x的图像()A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称[答案]D[解析]∵f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称．2．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，如果x10，x20，且|x1||x2|，则有()A．f(－x1)＋f(－x2)0B．f(x1)＋f(x2)0C．f(－x1)－f(－x2)0D．f(x1)－f(x2)0[答案]D[解析]∵x10，x20，|x1||x2|，∴0－x1x2又f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴f(－x1)f(x2)又f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(x1)f(x2)．∴f(x1)－f(x2)0.选D.3．(2009·辽宁理)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)f13的x取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23[答案]A[解析]考查偶函数的性质及含绝对值号不等式的解法．由题意得|2x－1|13⇒－132x－113⇒232x43⇒13x23，∴选A.4．(2010·山东理)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．3B．1C．－1D．－3-6-[答案]D[解析]∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即0＝20＋b，∴b＝－1，故f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.5．已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．以上都有可能[答案]A[解析]由x1＋x2＜0，得x1＜－x2.又f(x)为减函数，∴f(x1)＞f(－x2)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(x1)＞－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)＞0.同理f(x2)＋f(x3)＞0，f(x1)＋f(x3)＞0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0.6．若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有()A．f(2)f(3)g(0)B．g(0)f(3)f(2)C．f(2)g(0)f(3)D．g(0)f(2)f(3)[答案]D[解析]由题意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝ex－e－x2，g(x)＝－ex＋e－x2，g(0)＝－1，函数f(x)＝ex－e－x2在R上是增函数，且f(3)f(2)＝e2－e－220，因此g(0)f(2)f(3)，选D.二、填空题7．若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________.[答案]k＝±1[解析]解法1若定义域中包含