高一数学集合与函数解答难题

第1页（共6页）高一数学集合与函数解答难题一．解答题（共29小题）1．（2015•铜川三模）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．2．（2015•天津校级二模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=．（Ⅰ）求x1+x2的值及y1+y2的值（Ⅱ）已知S1=0，当n≥2时，Sn=+++，求Sn；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设an=，Tn为数列{an}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值．3．（2015•惠州模拟）已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a1，a2，…，am，am+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（am）＜g（am+1）成立，求m的最大值．4．（2015•衡阳二模）已知函数f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx（其中e是自然界对数的底，a∈R）（1）求f（x）的解析式；（2）设，求证：当a=﹣1时，；（3）是否存在实数a，使得当x∈[﹣e，0）时，f（x）的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．5．（2015•新余二模）设函数f（x）=x2﹣mlnx，h（x）=x2﹣x+a．第2页（共6页）（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．6．（2015•琼海校级模拟）（选做题）已知函数f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3．（Ⅰ）解不等式：g（x）≥﹣2；（Ⅱ）当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．7．（2014•江苏模拟）设函数f（x）=．（Ⅰ）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．8．（2014•中山市校级二模）定义F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），（Ⅰ）令函数，写出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0（﹣4＜x0＜﹣1）处有斜率为﹣8的切线，求实数a的取值范围（Ⅲ）当x，y∈N*且x＜y时，求证F（x，y）＞F（y，x）．9．（2014•安徽模拟）定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x2﹣af（x），h（x）=x﹣a，且g（x）在x=1处取得极值．（1）求a的值及h（x）的单调区间；（2）求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜；（3）把h（x）对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2，求C2与g（x）对应曲线C3的交点的个数，并说明道理．10．（2014•上海模拟）已知函数f（x）=．（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．11．（2014•大港区校级二模）已知函数g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣﹣lnx（m∈R）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；第3页（共6页）（Ⅲ）设h（x）=，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．12．（2014•陕西模拟）已知函数，g（x）=lnx．（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．13．（2014秋•东湖区校级月考）对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．（I）设f（x）=3x+4，求集合A和B；（Ⅱ）若f（x）=，∅⊊A⊆B，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若f（x）=ax2，求证：A=B．14．（2013•许昌三模）设函数．（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．15．（2013•重庆）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．16．（2013•文昌模拟）已知函数f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|﹣m）．（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．17．（2013•成都模拟）已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意a，b∈N*，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n．（I）试证明：f（x）为N*上的单调增函数；（II）求f（1）+f（6）+f（28）；（III）令an=f（3n），n∈N*，试证明：.．18．（2013•镜湖区校级一模）已知函数y=f（x）=．第4页（共6页）（1）求函数y=f（x）的图象在x=处的切线方程；（2）设实数a＞0，求函数F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．19．（2013•湖南模拟）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若x∈[2，6]，恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）当n∈N*时，试比较f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n2的大小关系．20．（2013•江阴市校级模拟）已知k∈R，函数f（x）=mx+knx（0＜m≠1，n≠1）．（1）如果实数m，n满足m＞1，mn=1，函数f（x）是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k值，如果没有，说明为什么？（2）如果m＞1＞n＞0判断函数f（x）的单调性；（3）如果m=2，n=，且k≠0，求函数y=f（x）的对称轴或对称中心．21．（2013•桐乡市校级模拟）已知函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数（1）求k的值（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，且g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围（3）讨论关于x的方程的根的个数．22．（2013•锦州二模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，（1）求不等式f（x）≤6的解集．（2）若关于x的不等式f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．23．（2013•临洮县校级模拟）已知f（x）=在区间[﹣1，1]上是增函数．（1）求实数a的值所组成的集合A；（2）设关于x的方程f（x）=的两个根为x1、x2，若对任意x∈A及t∈[﹣1，1]，不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|恒成立，求m的取值范围．24．（2012•江苏）设集合Pn={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：第5页（共6页）①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．25．（2012•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．26．（2012•陕西）设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：fn（x）在区间（，1）内存在唯一的零点；（2）设n为偶数，|f（﹣1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围．27．（2012•雁峰区校级学业考试）已知函数f（x）=log2（x﹣1），（1）求函数y=f（x）的定义域；（2）设g（x）=f（x）+m，若函数y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点，求实数m的取值范围；（3）设h（x）=f（x）+，求函数y=h（x）在[3，9]内的值域．28．（2012•田家庵区校级一模）已知集合P=，y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程，求实数a的取值的取值范围．29．（2012•昆明模拟）选修4﹣5：不等式选讲：设函数．（1）当a=1时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．第6页（共6页）高一数学集合与函数解答难题参考答案一．解答题（共29小题）1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．21．22．23．24．25．26．27．28．29．