线性代数课件-第三章-矩阵的初等变换与线性方程组——习题课

线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组);(),(ccrrjiji记作列对调矩阵的两行);(,)(0kckrkii记作中的所有元素列乘某一行以数).(,)()(ckcrkrkjiji记作对应的元素上去列倍加到另一行所有元素的列把某一行１初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii)1(1kckrii)(ckcrkrjiji))(()(ckcrkrjiji.~,,BABABA记作等价与称矩阵就矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵反身性传递性对称性;~AA;~,~ABBA则若.~,~,~CACBBA则若２矩阵的等价三种初等变换对应着三种初等矩阵．３初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．E).(:,)(),(rrjiAAaAjiEmjiijnmm行对调行与第的第把施行第一种初等行变换当于对矩阵相左乘阶初等矩阵用（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵．).(:,),(,ccjiAAAjiEnjin列对调列与第第的把施行第一种初等列变换相当于对矩阵右乘矩阵阶初等矩阵用类似地),(jiE（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵．);(,))((kriAkAkiEim行第的乘相当于以数左乘矩阵以).(,))((kciAkAkiEin列第的乘相当于以数右乘矩阵以k))((kiE（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵．);(,))((rkrikjAAkijEjim行上加到第以行乘的第相当于把左乘矩阵以).(,))((ckcjkiAAkijEijn列上加到第以列乘的第相当于把右乘矩阵以k))((kijE经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如00000310000111041211４行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如00000310003011040101５行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如00000310003011040101ccccccccc214433215334~00000001000001000001６矩阵的标准形.,,,),(,数梯形矩阵中非零行的行就是行阶其中三个数完全确定此标准形由化为标准形换和列变换行变总可以经过初等变换矩阵任何一个rrnmOOOErFnmnm所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵．F定义.,,,,2阶子式的称为矩阵阶行列式的位置次序而得到的中所处不改变它们在个元素行列交叉处的位于这些列行和任取中矩阵在kAkAkkkAnm７矩阵的秩定义.0).(,,,0)(1,0并规定零矩阵的秩等于记作的秩称为矩阵数的最高阶非零子式称为矩阵那么全等于如果存在的话阶子式且所有阶子式的中有一个不等于设在矩阵ARArADrDrA;)(,1rARrA则阶子式都为零中所有如果);()(ARART定理);()(,~BRARBA则若行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．８矩阵秩的性质及定理;)(,rARrA则阶子式中有一个非零的如果.~)4(;)3(;)()2(;)1(EAEAnARAA的标准形为单位矩阵的最高阶非零子式为则阶可逆矩阵为若,nA定理定理.)(0nARxAnnm阵的秩充分必要条件是系数矩有非零解的元齐次线性方程组.),(的秩的秩等于增广矩阵分必要条件是系数矩阵有解的充元非齐次线性方程组bABAbxAnnm９线性方程组有解判别定理齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解．非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．10线性方程组的解法定理.,;,,阶初等矩阵相应的的右边乘以相当于在施行一次初等列变换对阶初等矩阵左边乘以相应的相当于在变换施行一次初等行对矩阵是一个设nAAmAAnmA11初等矩阵与初等变换的关系定理.,,,,,2121PPPAPPPAll使则存在有限个初等矩阵为可逆矩阵设推论.,:~BPAQQnPmBAnm使得阶可逆矩阵及阶可逆矩阵存在的充分必要条件是矩阵一、求矩阵的秩二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典型例题求矩阵的秩有下列基本方法（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩．一、求矩阵的秩（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩．第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用．例１求下列矩阵的秩.34147191166311110426010021A解对施行初等行变换化为阶梯形矩阵A34147191166311110426010021A3514721015639010426010021~,00000000005213010021~B.2)()(,BRAR因此注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解．当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．二、求解线性方程组例２求非齐次线性方程组的通解．)1(.2255,1222,132,123,1323214321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解对方程组的增广矩阵进行初等行变换，使其成为行最简单形．B2025511222111321112311321B0000020354111322025520453~31323425rrrrrrrr0000000101111322025500202~2124rrrr0000000000111320201100101~2213214rrrrr0000000000156000211000101~1221332rrrrr0000000000616510061670106165001~6)1(6)1(631323rrrrr.,16567650616161)1(,43214取任意常数的通解是可得方程组令自由未知量kkxxxxxkx由此可知，而方程组(1)中未知量的个数是，故有一个自由未知量.3)()(BRAR4n.0323,0,022,04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例３当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．a解法一系数矩阵的行列式为AaaA323111212111113050212010101111aa2000010010101111aa)2)(1(aa.,0,21方程组有非零解时或者当Aaa:,1化成最简形把系数矩阵时当Aa10000000001001011323111121211111~.,01014321为任意常数kkxxxxx从而得到方程组的通解00000300101011112323121121211111,2~化为之变换可把由计算时当AAa0000010010100001~.,10104321为任意常数为从而得到方程组的通解kkxxxxxaaA323111212111113050212010101111~aa解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形A.,,4)(,21解可仿照解法一求出它的非零解此时方程组有时或者当ARaa2000010010101111~aa.,,)(,1AEEAEAA变成了就原来的时变成当把施行初等行变换只需对分块矩阵的逆矩阵要求可逆矩阵.,,1AEEAEA就变成了原来的时变成当把施行初等列变换或者对分块矩阵三、求逆矩阵的初等变换法例４求下述矩阵的逆矩阵．111211120A解.),(施行初等行变换作分块矩阵EA100111010211001120100111001120010211~21rr110100001120010211~13rr110100111020010211~32rr110100111020210011~31)2(rr110100212121010210011~212r110100212121010252321001~21)1(rr.1102121212523211A注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．BAX)1(四、解矩阵方程的初等变换法)(BA)(1~BAE初等行变换BAX1BABXA)2(ABE1~初等列变换BAX1)(BATT))((1~BAETT初等行变换ABX1BAXTTT)(1或者例５.,2,410011103XXAAXA求矩阵且设解,2XAAX,2100111012EA又,)2(AXEA1002100100110011012AEA由于,322100234010225001~初等行变换.322234225X第三章测试题一、填空题(每小题4分，共24分)．1．若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解．2．齐次线性方程组0302032321321xkxxxxxkxx只有零解，则应满足的条件是．nrk的通解为则设0,111