2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：-同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限[小题体验]1．已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则sin(π＋α)＝______.答案：－452．若sinθcosθ＝12，则tanθ＋cosθsinθ的值为________．答案：21．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．(2019·盐城期中)已知tan(π－α)＝34，α是第四象限角，则sinα＝________.解析：因为tan(π－α)＝34，所以tanα＝－34，因为sin2α＋cos2α＝1，α是第四象限角，所以sinα＝－35.答案：－352．化简：1－2sinπ＋2cosπ＋2＝________.解析：原式＝1－2sin2cos2＝|sin2－cos2|，因为sin2＞0，cos2＜0，所以原式＝sin2－cos2.答案：sin2－cos2考点一三角函数的诱导公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·启东调研)sin4π3·cos5π6·tan－4π3的值是________．解析：原式＝sinπ＋π3·cosπ－π6·tan－π－π3＝－sinπ3·－cosπ6·－tanπ3＝－32×－32×(－3)＝－334.答案：－3342．(2018·镇江中学测试)求值：sin26π3＋cos－17π4＝________.解析：sin26π3＋cos－17π4＝sin9π－π3＋cos4π＋π4＝sinπ－π3＋cosπ4＝sinπ3＋cosπ4＝3＋22.答案：3＋223．已知tanπ6－α＝33，则tan5π6＋α＝________.解析：tan5π6＋α＝tanπ－π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.答案：－334．(易错题)设f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋αsinα≠－12，则f－23π6＝________.解析：因为f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，所以f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.答案：3[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点二同角三角函数的基本关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·昆山一模)已知α∈0，π2，tanα＝3，则sin2α＋2sinαcosα＝________.解析：∵α∈0，π2，tanα＝3，∴sin2α＋2sinαcosα＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝9＋69＋1＝32.答案：322．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两个根，则m＝________.解析：由题意得sinθ＋cosθ＝－m2，sinθ·cosθ＝m4，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ，所以m24＝1＋m2，解得m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，解得m≤0或m≥4，所以m＝1－5.答案：1－5[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝sinθcosθ化成正弦、余弦，或者利用公式sinθcosθ＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ[即时应用]1．若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα＝________.解析：法一：因为α为第四象限的角，故cosα＝1－sin2α＝1－－5132＝1213，所以tanα＝sinαcosα＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sinα＝－513，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tanα＝yx＝－512.答案：－5122．(2019·苏州调研)已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，则tanθ的值为________．解析：∵sinθ＋cosθ＝15，①两边平方，得1＋2sinθcosθ＝125，∴2sinθcosθ＝－2425，又θ∈(0，π)，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，∴sinθ－cosθ＝75，②由①②得sinθ＝45，cosθ＝－35.∴tanθ＝－43.答案：－43考点三同角三角函数关系与诱导公式的综合应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]同角三角函数关系与诱导公式一般不单独考查，常相结合命题，主要考查三角函数值的计算．常见的命题角度有：(1)由同角关系求值；(2)由角的三角函数值求值；(3)由角的关系式求值．[题点全练]角度一：由同角关系求值1．(2018·玄武高中检测)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则sin－α－3π2sin3π2－αtan3αcosπ2－αcosπ2＋α＝________.解析：由已知得sinα＝－35.因为α是第三象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－45.所以原式＝cosα·－cosα·sinαcosα3sinα·－sinα＝sinαcosα＝34.答案：34角度二：由角的三角函数值求值2．(2018·启东调研)如图，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴的正半轴的交点，A点的坐标为513，1213，∠AOB＝90°.(1)求cos∠COA；(2)求tan∠COB.解：(1)因为A点的坐标为513，1213，根据三角函数的定义可得cos∠COA＝513.(2)因为∠AOB＝90°，sin∠COA＝1213，所以cos∠COB＝cos(∠COA＋90°)＝－sin∠COA＝－1213.又点B在第二象限，所以sin∠COB＝1－cos2∠COB＝513，故tan∠COB＝sin∠COBcos∠COB＝－512.角度三：由角的关系式求值3．(2019·滨海模拟)已知角θ的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为12，y.(1)求tanθ的值；(2)求cosπ2－θ＋cosθ－2πsinθ＋cosπ＋θ的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P12，y，得122＋y2＝1，y＜0，解得y＝－32.∴tanθ＝－3212＝－3.(2)∵tanθ＝－3，∴cosπ2－θ＋cosθ－2πsinθ＋cosπ＋θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝tanθ＋1tanθ－1＝－3＋1－3－1＝2－3.[通法在握]求值问题的一般解题步骤(1)将已知条件或所求式子利用诱导公式进行化简；(2)从已知条件中结合三角函数关系得出需要的结论；(3)代入化简后的所求式子，得出最后的结论．[演练冲关](2019·镇江中学测试)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，π2＜α＜π.求下列各式的值：(1)sinα－cosα；(2)sin2π2－α－cos2π2＋α.解：(1)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sinα＋cosα＝23.①将①式两边平方，得1＋2sinαcosα＝29.所以2sinαcosα＝－79.又π2＜α＜π，所以sinα＞0，cosα＜0，所以sinα－cosα＞0，所以(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα＝29＋149＝169，所以sinα－cosα＝43.(2)sin2π2－α－cos2π2＋α＝cos2α－sin2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝43×23＝429.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈－π2，π2，sinα＝－35，则cos(－α)＝________.解析：因为α∈－π2，π2，sinα＝－35，所以cosα＝45，即cos(－α)＝45.答案：452．(2019·镇江调研)已知α是第二象限角，cosπ2－α＝45，则tanα＝________.解析：∵α是第二象限角，cosπ2－α＝sinα＝45，∴cosα＝－1－sin2α＝－35，则tanα＝sinαcosα＝－43.答案：－433．(2018·江苏百校联盟)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos2019π2－2α＝________.解析：由题意可得tanα＝2，所以cos2019π2－2α＝－sin2α＝－2sinαcosαsin2α＋cos2α＝－2tanαtan2α＋1＝－45.答案：－454．(2018·扬州期末)若点P(3cosθ，sinθ)在直线l：x＋y＝0上，则tanθ＝________.解析：∵点P(3cosθ，sinθ)在直线l：x＋y＝0上，即3cosθ＋sinθ＝0，∴sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝sinθcosθ＝－3.答案：－35．如果sin(π＋A)＝12，那么cos3π2－A的值是________．解析：因为sin(π＋A)＝12，所以－sinA＝12.所以cos3π2－A＝－sinA＝12.答案：126．若sinθ＋cosθ＝23，则tanθ＋1tanθ＝________.解析：由sinθ＋cosθ＝23，得1＋2sinθcosθ＝49，即sinθcosθ＝－518，则tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1sinθcosθ＝－185.答案：－185二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·启东中学高三检测)已知α∈π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sinα＋cosα的值是________．解析：已知tan(α－π)＝tanα＝－34，又α∈π2，3π2，所以sinα＝35，cosα＝－45，所以sinα＋cosα＝－15.答案：－152．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α＝________.解析：因为cosπ4＋α＝sinπ2－π4＋α＝sinπ4－α＝－sinα－π4＝－13.答案：－133．(2018·如东中学调研)若f(x)＝sinπ2x＋α＋1，且f(2