北师大版初三下册数学知识点总结材料

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实用文档第一章直角三角形边的关系※一.正切:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切..,记作tanA,即的邻边的对边AAAtan;①tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;②tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比;③tanA不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A是锐角的正切;⑤tanA的值越大,梯子越陡,∠A越大;∠A越大,梯子越陡,tanA的值越大。※二.正弦..:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即斜边的对边AAsin;※三.余弦:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即斜边的邻边AAcos;※余切:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,即的对边的邻边AAAcot;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。(通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:若∠A为锐角,则①)90cos(sinAA;)90sin(cosAA②)90cot(tanAA;)90tan(cotAA※当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..※当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..0º30º45º60º90ºsinα02122231cosα12322210tanα03313—cotα—31330实用文档图1图3图4※利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。※同角的三角函数间的关系:倒数关系:tgα·ctgα=1。※在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。◎在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;(2)两锐角的关系:∠A+∠B=90°;(3)边与角之间的关系:;cot,tan,cos,sinabAbaAcbAcaA;cot,tan,cos,sinbaBabBcaBcbB(4)面积公式:cchab2121S(hc为C边上的高);(5)直角三角形的内切圆半径2cbar(6)直角三角形的外接圆半径cR21◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:※如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角..(或叫做坡比..)。用字母i表示,即Alhitan图2hi=h:llABC实用文档◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。如图3,OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角...。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是;北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。第二章二次函数※二次函数的概念:形如cbxaxy2(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做x的二次..函数..。自变量的取值范围是全体实数。)0(2aaxy是二次函数的特例,此时常数b=c=0.※在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值......范围..。※二次函数y=ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线...。描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。①函数的取值范围是全体实数;②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y轴(或称直线x=0)。③当a>0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。当a<0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。④函数的增减性:A、当a>0时.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时xyxxyxB、当a<0时.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时xyxxyx⑤当|a|越大,抛物线开口越小;当|a|越小,抛物线的开口越大。⑥最大值或最小值:当a>0,且x=0时函数有最小值,最小值是0;当a<0,且x=0时函数有最大值,最大值是0。※二次函数caxy2的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线※二次函数cbxaxy2的图象是以abx2为对称轴,顶点在(ab2,abac442)的抛物线。(开口方向和大小由a来决定)※|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越快;|a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越慢。实用文档※二次函数caxy2的图象中,a的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。※二次函数cbxaxy2的图象与y=ax2的图象的关系:cbxaxy2的图象可以由y=ax2的图象平移得到,其步骤如下:①将cbxaxy2配方成khxay2)(的形式;(其中h=ab2,k=abac442);②把抛物线2axy向右(h0)或向左(h0)平移|h|个单位,得到y=a(x-h)2的图象;③再把抛物线2)(hxay向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位,便得到khxay2)(的图象。※二次函数cbxaxy2的性质:二次函数cbxaxy2配方成abacabxay44)2(22则抛物线的①对称轴:x=ab2②顶点坐标:(ab2,abac442)③增减性:若a0,则当xab2时,y随x的增大而减小.....;当xab2时,y随x的增大而增大。......若a0,则当xab2时,y随x的增大而增大.....;当xab2时,y随x的增大而减小。......④最值:若a0,则当x=ab2时,abacy442最小;若a0,则当x=ab2时,abacy442最大※画二次函数cbxaxy2的图象:实用文档我们可以利用它与函数2axy的关系,平移抛物线而得到,但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象,其步骤如下:①先找出顶点(ab2,abac442),画出对称轴x=ab2;②找出图象上关于直线x=ab2对称的四个点(如与坐标的交点等);③把上述五点连成光滑的曲线。¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得,也可以借助图象观察。¤解决最大(小)值问题的基本思路是:①理解问题;②分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;③用数学的方式表示它们之间的关系;④做数学求解;⑤检验结果的合理性、拓展性等。※二次函数cbxaxy2的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:acb420===抛物线与x轴有2个交点;acb42=0===抛物线与x轴有1个交点;acb420===抛物线与x轴有0个交点(无交点);※当acb420时,设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离:2122121224)()(||||1xxxxxxxxAB化简后即为:)04(||4||22acbaacbAB------这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。第三章圆一.车轮为什么做成圆形※1.圆的定义:描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆.;固定的端点O叫做圆心..;线段OA叫做半径..;以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作“圆O”实用文档集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆.心.,定长叫做圆的半径....,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆..。对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线,不是圆面;②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。※2.点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则①点在圆上===d=r;②点在圆内===dr;③点在圆外===dr.其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。二.圆的对称性:※1.与圆相关的概念:①弦和直径:弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.。直径:经过圆心的弦叫做直径..。②弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧..,简称弧.,用符号“⌒”表示,以CD为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆..。优弧:大于半圆的弧叫做优弧..。劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧..。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。)③弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形..。④同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆...。⑤等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。⑥等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧..。⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角....⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距....※2.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。※3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。※4.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.实用文档三.圆周角和圆心角的关系:※1.1°的弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.※2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB=,这是错误的.※3.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※4.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等;※推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;※四.确定圆的条件:※1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.※2.经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.※定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.※3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五.

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