八年级数学下册《三角形的证明》

上册第一章复习┃知识归纳┃知识归纳┃1．等腰三角形的性质性质(1)：等腰三角形的两个底角.性质(2)：等腰三角形顶角的、底边上的、底边上的高互相重合．2．等腰三角形的判定(1)定义：有两条边的三角形是等腰三角形．(2)等角对等边：有两个角的三角形是等腰三角形．相等平分线中线相等相等上册第一章复习┃知识归纳3．用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．4．等边三角形的判定(1)有一个角等于60°的三角形是等边三角形；等腰上册第一章复习┃知识归类(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；(3)三个角相等的三角形是等边三角形；(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形．5．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的.6．勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的.一半平方上册第一章复习┃知识归类逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是三角形．7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．[点拨]线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合．直角相等垂直平分线上册第一章复习┃知识归类8．三线共点三角形三条边的垂直平分线相交于，并且这一点到三角形三个顶点的距离.9．角平分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离.判定定理：在一个角的内部，且到角的两边相等的点，在这个角的平分线上．相等相等距离一点上册第一章复习┃知识归类[注意]角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件．10．三角形三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离.相等►考点一线段垂直平分线的性质的应用上册第一章复习┃考点攻略┃考点攻略┃例1如图S1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝________.50°上册第一章复习┃考点攻略[解析]根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以EA＝EC，∠A＝∠ACE＝30°，又∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.上册第一章复习┃考点攻略方法技巧若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问题．同时，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地运用线段垂直平分线性质，可以大大简化解题过程，同学们在学习中要注意到这一点！上册第一章复习┃考点攻略►考点二全等三角形的证明例2如图S1－2，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF.上册第一章复习┃考点攻略解：答案不惟一，命题一：在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：∠ABC＝∠DEF.命题二：在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF.求证：AC＝DF.下面证明命题一：已知：如题图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：∠ABC＝∠DEF.上册第一章复习┃考点攻略证明：在△ABC和△DEF中，∵BE＝CF，∴BC＝EF.又∵AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．∴∠ABC＝∠DEF.上册第一章复习┃考点攻略方法技巧与全等三角形有关的开放型试题形式多样，设计新颖，能培养同学们的逆向思维能力、创新能力和综合运用知识的能力．解答条件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件．同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共边等，然后合理选择全等三角形的知识解决．另外，要注意这类题的答案往往不唯一，只要合理即可．上册第一章复习┃考点攻略►考点三勾股定理的应用例3如图S1－3，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面圆的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短路线的长度(结果保留根号)．上册第一章复习┃考点攻略[解析]这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解决此问题．上册第一章复习┃考点攻略图S1－4解：将圆柱的侧面展开，如图S1－4，圆柱的底面周长为2πr＝2×π×＝4，取其一半：×4＝2，圆柱的高为2，根据勾股定理，得AC2＝22＋22＝8，所以AC＝2.上册第一章复习┃考点攻略方法技巧利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题，也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题——即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆锥的侧面展开问题．这种由三维立体和二维平面的相互转化，充分体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能力、理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型．上册第一章复习┃考点攻略►考点四等腰三角形的判别例4已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图S1－4，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；(2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．上册第一章复习┃考点攻略[解析]要证明△DEF为等腰三角形，需要证DE＝DF.连接AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的方法．上册第一章复习┃考点攻略图S1－6解：(1)证明：连接AD，如图S1－6：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝AD，∴∠B＝∠DAC＝45°，又BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF，∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形．上册第一章复习┃考点攻略(2)若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图S1－7所示：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAF＝∠DBE＝135°.又AF＝BE，∴△DAF≌△DBE(SAS)，图S1－7上册第一章复习┃考点攻略∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB，∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°，∴△DEF仍为等腰直角三角形．上册第一章复习┃考点攻略方法技巧等腰三角形的应用体现在利用等腰三角形的性质与判定上，尤其是“三线合一”的性质用来对线段或角进行转化，从而摆脱用全等三角形证明线段相等或角相等的思维定势，更简捷地说明两线段或角相等．在中考中，等腰三角形常与其他知识结合，综合性强，多以证明或计算题出现．上册第一章复习┃考点攻略►考点五角平分线与“截长补短”例5如图S1－8，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.求证：CD＝AD＋BC.图S1－8上册第一章复习┃考点攻略[解析]结论是CD＝AD＋BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF＝CB，只要再证DF＝DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的．上册第一章复习┃考点攻略图S1－9证明：在CD上截取CF＝BC，如图S1－9，在△FCE与△BCE中，∴△FCE≌△BCE(SAS)，∴∠2＝∠1.∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°.又∠ADE＝∠CDE，上册第一章复习┃考点攻略∴∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°，∴∠3＝∠4.在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE(ASA)，∴DF＝DA.∵CD＝DF＋CF，∴CD＝AD＋BC.上册第一章复习┃考点攻略方法技巧“截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗．掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助．1．以下命题中，是真命题的是()A．两条直线只有相交和平行两种位置关系B．同位角相等C．两边和一角对应相等的两个三角形全等D．等腰三角形底边中点到两腰的距离相等D上册第一章复习┃习题讲析2．下列说法中，正确的是()A．等腰三角形边上的中线也是高B．等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等C．等边三角形每条角平分线都平分对边D．直角三角形一边上的中线等于这边的一半C上册第一章复习┃习题讲析3．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么它的三个内角之比为()A．1∶2∶3B．2∶2∶1C．1∶1∶2D．以上都不对D上册第一章复习┃习题讲析4．如图S1－9，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为()A．2B．3C．4D．5D图S1－10上册第一章复习┃习题讲析5．如图S1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝________.2图S1－11上册第一章复习┃习题讲析6．若点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC的()A．三条高的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三条中垂线的交点C上册第一章复习┃习题讲析7．在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有()A．只有一个B．有两个C．有三个或三个以上D．有一个或没有D上册第一章复习┃习题讲析8．小明家有一块△ABC的土地，如图S1－12所示，其三边长AB＝70米，BC＝90米，AC＝50米，现要把△ABC分成面积比为5∶7∶9的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案．图S1－12上册第一章复习┃习题讲析解：如图S1－13所示，分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相交于点D，连接AD，则S△ADC∶S△ADB∶S△BDC＝5∶7∶9.图S1－13上册第一章复习┃习题讲析9.如图S1－14，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.上册第一章复习┃习题讲析证明：(1)因为E是CD的中点，所以DE＝CE.因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE.所以△ADE≌△FCE.所以FC＝AD.(2)因为△ADE≌△FCE，所以AE＝FE.又因为BE⊥AE，所以BE是线段AF的垂直平分线，所以AB＝FB.因为FB＝BC＋FC＝BC＋AD.所以AB＝BC＋AD.上册第一章复习┃习题讲析10.如图S1－15①，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E，直线BM，CN交于F点．(1)求证：AN＝BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图②中补出符合要求的图形，并判断第(1)(2)两小题的结论是否仍然成立．(不要求证明)上册第一章复习┃习题讲析上册第一章复习┃习题讲析解：(1)证明：易证△CMB≌△CAN，则AN＝BM.(2)证明：∵△CMB≌△CAN，∴∠ANC＝∠MBC.又∵∠MCN＝∠FCB＝60°，BC＝CN，∴△ECN≌△F