新人教版八年级上数学知识点

人教版八年级上数学知识点第十一章：三角形1、三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2、三角形有3条边、3个顶点、3个角顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”。线段AB，BC，CA是三角形的边，点A，B，C是三角形的顶点。∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。3、三角形的分类：锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形按照三个内角的大小分直角三角形：有一个内角是直角的三角形钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形注：由三角形内角和为180°可知，三角形的三个内角中至少有两个锐角，所以判断一个三角形的种类，只需要判断最大的内角是什么角即可。三边都不相等的三角形按边的相等关系分底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形4、三角形三边之间的大小关系由“两点之间，线段最短”可得：三角形两边的和大于第三边。由不等式的性质易得推论：三角形两边的差小于第三边。三边关系的应用：（1）判断三条已知线段能否组成三角形（技巧：只需验证两小边是否大于最大边即可）。（2）当已知两边时，可确定第三边的大小范围（两边之差＜第三边＜两边之和）。（3）证明线段不等关系。（4）求三角形的边长或周长时注意验证三条边能否组成三角形。5、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形该边上的高。三角形有三条高，三条高相交于一点。三角形三条高的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心即直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部。6、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。7、三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线相交于一点。三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。8、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。9、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。（证明方法通常有两种：一是过三角形的一个顶点作对边的平行线，二是过三角形的一个外角作对边的平行线。）由三角形内角和定理易得：（1）直角三角形（符号表示为“Rt△”）的两个锐角互余。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。10、三角形的外角三角形的一边与邻边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。由三角形内角和定理易得：（3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。（4）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角。11、多边形在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。n边形有n个顶点，n条边，n个内角，n个外角。多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。12、多边形的内角和由n边形的一个顶点出发，可以作（n－3）条对角线，它们将n边形分为（n－2）个三角形，所以：n边形的内角和＝（n－2）×180°推论：多边形的外角和等于360°。（每个外角与它相邻的内角都是邻补角，所以n边形的内角和与外角和的和为n×180°，再减去内角和易得结论。）多边形的外角和与边数n无关。技巧：正n边形的一个内角的度数＝180°－360°÷n。13、镶嵌用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不同。实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°。只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形和正六边形可实现。用两种或者三种正多边形也可进行镶嵌。不能用3种以上的正多边形镶嵌（因为60°＋90°＋108°＋120°＝378°＞360°）第十二章：全等三角形1、全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形的形状、大小完全相同。2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。3、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。注：全等三角形的周长相等、面积相等。全等三角形的对应边上的中线、高线、角平分线分别相等。4、三角形全等的判定1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写与“角边角”或“ASA”）。4）两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。注：1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等。2）有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。3）三角形全等判定中至少需要三个条件（在HL中还有一个隐含条件：相等的直角），三个条件中至少有一条边（即：三个角相等的两个三角形不一定全等）。4）以上各结论均可通过画图进行验证。5）因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明线段相等或角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决。6）证明两个三角形全等的基本思路：找两边一边相等找两角两三角形全等找一边及夹角如果两个三角形为直角三角形，考虑HL。4、角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。注：三角形的内心到三角形三边的距离相等。5、证明一个几何命题的步骤1）明确命题中的已知和求证；2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明的过程。第十三章：轴对称1、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2、轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。3、轴对称图形和轴对称的区别与联系区别：1）轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形。2）轴对称图形的对称轴可能有多条或无数条（如圆）；轴对称只有一条对称轴。联系：1）把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。2）把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。4、垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（又叫中垂线）。5、轴对称的性质1）成轴对称的两个图形全等，对应边相等，对应角相等，对应点的连结垂直于对称轴且被对称轴平分。2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。6、线段的垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。7、准确作出轴对称或轴对称图形的对称轴的方法只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到对称轴。8、画轴对称图形的方法只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。9、在直角坐标系中，分别以x轴和y轴为对称轴时，一对对称点的坐标之间的关系在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数。即：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）；10、等腰三角形的性质等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴。11、等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。12、等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。13、等边三角形的判定方法三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。14、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。15、大边对大角，大角对大边在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。16、最短路径问题类似于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，称为最短路径问题。1）饮马问题作出两点中任一点关于直线的对称点，连接该点与另一点的线段与直线的交点即为所求。2）造桥选址问题如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N时，点A移动到点A，连接AB与直线b相交于点N，交点N的位置即为所求。即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的。第十四章：整式的乘法与因式分解1、幂的运算1）同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。mnmnaaa（,mn都是正整数）。推导过程：()()mnaaaaaaaamnaaaam个an个a（mn）个a2）幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。()mnmnaa（,mn都是正整数）。n个m推导过程：()mnmmmmmmmnaaaaaan个ma3）积的乘方积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。()nnnabab（n为正整数）。n个abn个an个b推导过程：()()()()nnnababababaaabbbab4）同底数幂相除同底数幂相除，底数不变，指数相减。mnmnaaa（0a，,mn都是正整数，并且m＞n）。推导方法有二：一根据除法是乘法的逆运算；二是根据幂与除法的意义。5）0次幂任何不等于0的数的0次幂都等于1。01(0)aa。推导过程：0mmmmaaaa，又1mmaa。所以01(0)aa2、整式的乘除法单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。3、平方差公式两个数的和与这个两个数的差的积，等于这两个数的平方差。22()()ababab推导：只需将多项式相乘，再合并同类项即得。4、完全平方公式两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。222()2abaabb，222()2a